شرح ﺧﺼﺎﺋﺺ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﺎﺕ
ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﺎﺕ ﻭﺍﻟﻀﺮﺏ ﺍﻟﻘﻴﺎﺳﻰ
ﻭﺍﻹﺗﺠﺎﻫﻰ
ﺍﻟﻜﻤﻴﺎﺕ ﺍﻟﻘﻴﺎﺳﻴﺔ ﻭﺍﻟﻜﻤﻴﺎﺕ
ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﺔ
مرحباً بكم متابعينا الأعزاء طلاب وطالبات العلم في موقعنا النورس العربي منبع المعلومات والحلول الذي يقدم لكم أفضل الأسئله بإجابتها الصحيحه من شتى المجالات التعلمية من مقرر المناهج التعليمية والثقافية ويسعدنا أن نقدم لكم حل السؤال الذي يقول........ ما هي ﺧﺼﺎﺋﺺ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﺎﺕ
الإجابة هي كالتالي
*ﺧﺼﺎﺋﺺ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﺎﺕ:-
ﻧﻔﺮﺽ ﺍﻥ ﻟﺪﻳﻨﺎ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﺎﺕ )B ,
A ( ﻋﻠﻰ ﺍﻻﺣﺪﺍﺛﻴﺎﺕ ﺍﻟﻜﺎﺭﺗﻴﺰﻳﺔ
ﻛﻤﺎ ﺑﺎﻟﺸﻜﻞ:
ﻭﻓﻴﻤﺎ ﻳﻠﻲ ﺃﻫﻢ ﺧﺼﺎﺋﺺ
ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﺎﺕ:
ﺃ ( ﺗﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﺎﺕ:
ﻋﻨﺪ ﺗﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﻴﻦ ﻓﻲ
ﺍﻟﻤﻘﺪﺍﺭ ﻭﺍﻻﺗﺠﺎﻩ
ﻳﻌﺒﺮ ﻋﻨﻬﻤﺎ ﺑﺎﻟﻌﻼﻗﺔ: A = B
ﺍﻣﺎ ﺍﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﻓﻲ ﺍﺗﺠﺎﻫﻴﻦ
ﻣﺘﻌﺎﻛﺴﻴﻦ ﺗﻜﻮﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔﻫﻲ:
A = - B
ﻭﻋﻨﺪﻣﺎ ﻳﻜﻮﻥ ﺧﻂ ﻋﻤﻠﻬﻤﺎ ﻭﺍﺣﺪ
ﻳﻜﻮﻥ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﻫﻲ
:
A + (-B) = 0
ﺏ ( ﺟﻤﻊ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﺎﺕ:
ﻳﻤﻜﻦ ﺟﻤﻊ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﺎﺕ ﺍﻟﺘﻲ ﺗﻌﺒﺮ
ﻋﻦ ﻛﻤﻴﺎﺕ ﻓﻴﺰﻳﺎﺋﻴﺔ ﻣﺘﺸﺎﺑﻬﺔ
ﻣﺜﻞ ﺟﻤﻊ ﻣﺘﺠﻬﻴﻴﻦ ﻟﻠﺴﺮﻋﺔ،
ﻭﻟﻜﻦ ﻻ ﻳﻤﻜﻦ ﺍﻥ ﻧﺠﻤﻊ ﻣﺘﺠﻪ
ﻗﻮﺓ ﻣﻊ ﻣﺘﺠﻪ ﺇﺯﺍﺣﺔ. ﻭﻧﺴﺘﺨﺪﻡ
ﻗﺎﻋﺪﺓ ﻣﺘﻮﺍﺯﻱ ﺍﻻﺿﻼﻉ ﻻﻳﺠﺎﺩ
ﺍﻟﻤﺤﺼﻠﺔ R ﻛﻤﺎ ﺑﺎﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﺘﺎﻟﻰ:
ﻟﺠﻤﻊ ﻣﺘﺠﻪ A ﻣﻊ ﻣﺘﺠﻪ B ﺗﻜﻮﻥ
ﺍﻟﻤﺤﺼﻠﺔ ﺍﻟﻤﺘﺠﻪ R
ﻻﺣﻆ ﺍﻥ ﻋﻤﻠﻴﺔ ﺍﻟﺠﻤﻊ ﻋﻤﻠﻴﺔ
ﺗﺒﺎﺩﻟﻴﺔ ﺑﻤﻌﻨﻰ A + B = B + A
ﻭﻳﻤﻜﻦ ﺍﻥ ﻳﻜﻮﻥ ﻟﺪﻳﻨﺎ ﻣﺘﺠﻬﺎﺕ
) A , B , C , D ..… , (
ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻤﺤﺼﻠﺔ ﺗﻤﺜﻞ ﺍﻟﻤﺘﺠﻪ
ﺍﻟﻨﺎﺗﺞ ﻋﻦ ﺍﻏﻼﻕ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﺎﺕ
ﺍﻟﺴﺎﺑﻘﺔ
ﻛﻤﺎ ﺑﺎﻟﺮﺳﻢ ﺍﻟﻤﻮﺿﺢR :
ﻭﺍﻟﻤﺤﺼﻠﺔ ﻫﻲ: R = A + B + C
+ D
ﻭﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ ﺗﻜﻮﻥ
ﺍﻟﻤﺤﺼﻠﺔ ﻫﻲ:
R = (A+B) +C
ﺃﻭ R = A + (B+C (
ﻭﻫﺬﻩ ﺍﻟﺨﺎﺻﻴﺔ ﺗﺴﻤﻰ ﺑﺎﻟﺨﺎﺻﻴﺔ
ﺍﻟﺘﺮﺍﻓﻘﻴﺔ
ﺝ ( ﻃﺮﺡ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﺎﺕ:
ﻭﻫﻲ ﺗﺘﻢ ﻛﻤﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﺠﻤﻊ ﻣﻊ
ﻣﺮﺍﻋﺎﺓ ﺭﺳﻢ B A
ﺍﻟﻤﺘﺠﻪ B ﻓﻲ ﺍﻻﺗﺠﺎﻩ ﺍﻟﻤﻌﺎﻛﺲ
ﺑﺎﻋﺘﺒﺎﺭ ﺍﻥ B ﻫﻮ
ﺍﻟﻤﺘﺠﻪ ﺍﻟﻤﻄﺮﻭﺡ ﻣﻦ ﺍﻟﻤﺘﺠﻪ
ﺍﻻﻭﻝ A ﻛﻤﺎ ﺑﺎﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ:
ﻭﺗﻜﻮﻥ ﺍﻟﻤﺤﺼﻠﺔ: R = A - B
ﻣﺮﻛﺒﺎﺕ ﺍﻟﻤﺘﺠﻪ:
ﺃﻱ ﻣﺘﺠﻪ A ﻳﻘﻊ ﻓﻲ ﺍﻻﺣﺪﺍﺛﻴﺎﺕ
ﺍﻟﻜﺎﺭﺗﻴﺰﻳﺔ x , y ﻳﻤﻜﻦ ﺗﺤﻠﻴﻠﻪ
ﺇﻟﻰ ﻣﺮﻛﺒﺘﻴﻦ ﺍﻟﻤﺮﻛﺒﺔ ﺍﻷﻭﻟﻲ ﻓﻲ
ﺍﺗﺠﺎﻩ ﻣﺤﻮﺭ x ﻭﺗﺴﻤﻰ ﺍﻟﻤﺮﻛﺒﺔ
ﺍﻷﻓﻘﻴﺔ ﻭﺍﻟﻤﺮﻛﺒﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻓﻲ
ﺍﺗﺠﺎﻩ ﺍﻟﻤﺤﻮﺭ y ﻭﺗﺴﻤﻰ
ﺍﻟﻤﺮﻛﺒﺔ ﺍﻟﺮﺃﺳﻴﺔ.
ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﺘﺎﻟﻰ ﺍﻟﻤﺘﺠﻪ A ﺗﻢ
ﺗﺤﻠﻴﻠﻪ ﺇﻟﻰ ﻣﺮﻛﺒﺘﻴﻦ ﻭﻗﻴﻤﺔ ﻛﻞ
ﻣﺮﻛﺒﺔ ﻫﻲ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﺤﻮ ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ:
Ax = A cosﺍﻟﻤﺮﻛﺒﺔ ﺍﻟﺮﺃﺳﻴﺔ
Ay = A sin ﺍﻟﻤﺮﻛﺒﺔ ﺍﻻﻓﻘﻴﺔ
ﻭﺗﺤﺴﺐ ﺍﻟﻤﺤﺼﻠﺔ ﻣﻦ ﺍﻟﻘﺎﻧﻮﻥ
ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ
ﻣﺘﺠﻪ ﺍﻟﻮﺣـــﺪﺓ
ﻳﻌﺮﻑ ﻣﺘﺠﻪ ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ ﺑﻤﺘﺠﻪ
ﻃﻮﻟﻪ ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ ﻭﻟﻴﺲ ﻟﻪ ﻭﺣﺪﺓ
ﻗﻴﺎﺱ ﻭﻳﺴﺘﺨﺪﻡ ﻟﻠﺘﻌﺒﻴﺮ ﻋﻦ
ﺍﻻﺗﺠﺎﻩ ﻹﻱ ﻛﻤﻴﺔ ﻓﻴﺰﻳﺎﺋﻴﺔ
ﻣﺘﺠﻬﺔ.
ﻛﺬﻟﻚ ﻳﻤﻜﻦ ﺗﻤﺜﻴﻞ ﻣﺘﺠﻬﺎﺕ
ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ )i, j, k ( ﻟﻤﺤﺎﻭﺭ
ﺍﻻﺣﺪﺍﺛﻴﺎﺕ ﺍﻟﻜﺎﺭﺗﻴﺰﻳﺔ )x, y, z (
ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺮﺗﻴﺐ ﻛﻤﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜﻞ
ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ-:
ﻣﺘﺠﻬﻪ ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ i ﻳﻌﻤﻞ ﻓﻰ
ﺍﻹﺗﺠﺎﻩ ﺍﻟﻤﻮﺟﺐ ﻟﻠﻤﺤﻮﺭ ﺍﻟﺴﻴﻨﻰ
x
ﻣﺘﺠﻬﻪ ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ j ﻳﻌﻤﻞ ﻓﻰ
ﺍﻹﺗﺠﺎﻩ ﺍﻟﻤﻮﺟﺐ ﻟﻠﻤﺤﻮﺭ
ﺍﻟﺼﺎﺩﻯ y
ﻣﺘﺠﻬﻪ ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ k ﻳﻌﻤﻞ ﻓﻰ
ﺍﻹﺗﺠﺎﻩ ﺍﻟﻤﻮﺟﺐ ﻟﻠﻤﺤﻮﺭ ﺍﻟﻌﻴﻨﻰ
z
ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﺴﺎﺑﻖ ﻳﻌﺒﺮ ﻋﻦ
ﺍﻻﺣﺪﺍﺛﻴﺎﺕ ﺍﻟﻜﺎﺭﺗﻴﺰﻳﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﺜﻼﺙ
ﺍﺑﻌﺎ ﻭﺑﺬﻟﻚ ﻳﻤﻜﻦ ﻛﺘﺎﺑﺔ ﺃﻱ
ﻣﺘﺠﻪ ﺑﺪﻻﻟﺔ ﻣﺮﻛﺒﺎﺗﻪ ﻭﻣﺘﺠﻬﺎﺕ
ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ، ﻛﻤﺎ ﻓﻰ ﺍﻟﻤﺜﺎﻝ ﺍﻟﺘﺎﻟﻰ
ﻧﻔﺮﺽ ﻣﺘﺠﻪ A
ﻳﻘﻊ ﻓﻲ ﻣﺴﺘﻮﻯ x , y ﻳﻤﻜﻦ
ﺍﻟﺘﻌﺒﻴﺮ ﻋﻨﻪ
ﺑﺎﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻹﺗﺠﺎﻫﻴﺔ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ:
A = Ax i + Ay j
B = Bx i + By j
ﻭﺗﻜﻮﻥ ﻣﺤﺼﻠﺔ ﺟﻤﻊ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﻴﻦ
ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﺘﺎﻟﻰ:
R = A + B = (Ax+Bx) i + (Ay
+By) j
ﺃﻣﺎ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﻴﻦ ﻓﻰ ﺍﻟﺜﻼﺙ
ﺃﺑﻌﺎﺩ
A = Ax i + Ay j + Az k
B = Bx i + By j + By k
ﺗﻜﻮﻥ ﺍﻟﻤﺤﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺸﻜﻞ
ﺍﻟﺘﺎﻟﻰ:
R = A + B = (Ax+Bx) i + (Ay
+By) j + (Az+Bz) k
ﺿﺮﺏ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﺎﺕ:
ﻣﻦ ﺍﻟﻤﻌﺮﻭﻑ ﺍﻥ ﺍﻟﻜﻤﻴﺔ
ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﺔ ﺗﺸﻤﻞ ﻋﻨﺼﺮﻳﻦ ﻫﻤﺎ
ﺍﻟﻤﻘﺪﺍﺭ ﻭﺍﻻﺗﺠﺎﻩ ﻭﺗﻜﻮﻥ ﻗﻮﺍﻋﺪ
ﺿﺮﺏ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﺎﺕ ﻫﻲ:
1 ( ﺿﺮﺏ ﺍﻟﻤﺘﺠﻪ ﻓﻲ ﻛﻤﻴﺔ
ﻗﻴﺎﺳﻴﺔ:
ﺍﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺍﻟﻤﺘﺠﻪ ﻫﻮ A ﻭﻛﺎﻧﺖ a
ﻛﻤﻴﺔ ﻗﻴﺎﺳﻴﺔ ﻓﻴﻜﻮﻥ ﺣﺎﺻﻞ
ﺍﻟﻀﺮﺏ ﻫﻮ ﻛﻤﻴﺔ ﻣﺘﺠﻬﺔ
ﻭﻣﻘﺪﺍﺭﻩ ﻭﻳﺴﺎﻭﻱ a |A|
2 ( ﺿﺮﺏ ﻣﺘﺠﻪ ﻓﻲ ﻣﺘﺠﻪ ﺁﺧﺮ :
ﻳﻮﺟﺪ ﻧﻮﻋﻴﻦ ﻓﻲ ﻫﺬﻩ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ
ﻫﻤﺎ:
ـ1 ﺍﻟﻀﺮﺏ ﺍﻟﻘﻴﺎﺳﻲ ـ2 ﺍﻟﻀﺮﺏ
ﺍﻻﺗﺠﺎﻫﻲ
ﺃﻭﻻ: ﺍﻟﻀﺮﺏ ﺍﻟﻘﻴﺎﺳﻲ :
ﻳﻌﺮﻑ ﺍﻟﻀﺮﺏ ﺍﻟﻘﻴﺎﺳﻲ
ﻟﻤﺘﺠﻬﻴﻦ ﺑﺤﺎﺻﻞ ﺿﺮﺏ ﻣﻘﺪﺍﺭ
ﺍﻟﻤﺘﺠﻪ ﺍﻷﻭﻝ ﻓﻲ ﻣﻘﺪﺍﺭ ﺍﻟﻤﺘﺠﻪ
ﺍﻟﺜﺎﻧﻲ ﻓﻲ ﺟﻴﺐ ﺗﻤﺎﻡ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ
ﺍﻟﻤﺤﺼﻮﺭﺓ ﺑﻴﻨﻬﻤﺎ ﻭﻳﻜﺘﺐ ﻋﻠﻰ
ﺍﻟﺼﻮﺭﺓ A.B
A.B = |A| . |B| . cos θ
ﻳﻤﻜﻦ ﺇﻳﺠﺎﺩ ﻗﻴﻤﺔ ﺍﻟﻀﺮﺏ
ﺍﻟﻘﻴﺎﺳﻲ ﻟﻤﺘﺠﻬﻴﻦ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ
ﻣﺮﻛﺒﺎﺕ ﻛﻞ ﻣﺘﺠﻪ ﻛﻤﺎ ﻳﻠﻲ:
A . B = (Ax i + Ay j + Az k).
(Bx i + By j + Bz k)
A.B = Ax Bx i.i + Ax By i.j +
Ax Bz i.k + Ay Bx j.i + Ay By
j.j + Ay Bz j.k
+Az Bx k.i +Az By k.j +Az Bz
k.k
ﻭﺗﺒﻌﺎ ﻟﻠﻀﺮﺏ ﺍﻟﻘﻴﺎﺳﻲ:
i.i = j.j = k.k = 1 ﻭﺍﻳﻀﺎ i.j =
j.k = k.i = 0
ﺑﺎﻟﺘﻌﻮﻳﺾ ﻓﻲ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻀﺮﺏ
ﻳﻨﺘﺞ ﻣﺎ ﻳﻠﻲ:
A . B = Ax Bx + Ay By + Az
Bz
ﺛﺎﻧﻴﺎ: ﺍﻟﻀﺮﺏ ﺍﻻﺗﺠﺎﻫﻲ :
ﻧﺘﻴﺠﺔ ﺍﻟﻀﺮﺏ ﺍﻻﺗﺠﺎﻫﻲ
ﻟﻤﺘﺠﻬﻴﻦ A , B ﺗﻜﻮﻥ ﻛﻤﻴﺔ
ﻣﺘﺠﻬﺔ. ﻭﻳﻜﺘﺐ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﻨﻮﻉ ﻣﻦ
ﺍﻟﻀﺮﺏ ﻛﻤﺎ ﻳﻠﻲ : A × B
A × B = |A| . | sin θ .n
ﺣﻴﺚ ﺍﻥ n ﻫﻲ ﻣﺘﺠﻪ ﺍﻟﻮﺣﺪﺓ
ﻭﻫﻮ ﻋﻤﻮﺩﻱ
ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﻴﻦ A , B
ﻭﻟﻠﺤﺼﻮﻝ ﻋﻠﻰ A × B ﺑﺪﻻﻟﺔ
ﺍﻟﻤﺮﻛﺒﺎﺕ ﻧﻌﻮﺽ ﻋﻦ
ﺍﻟﻤﺘﺠﻬﻴﻦ A , B ﻛﻤﺎ ﻳﻠﻲ:
A × B = (Ax i + Ay j + Az k)
× (Bx i + By j + Bz k)
A.B = Ax Bx i×i + Ax By i×j
+ Ax Bz i×k + Ay Bx j×i +
Ay By j×j + Ay Bz j×k
+Az Bx k×i +Az By k×j +Az
Bz k×k
ﻭﺗﺒﻌﺎ ﻟﻠﻀﺮﺏ ﺍﻻﺗﺠﺎﻫﻲ:
i×i = j×j = k×k = 0
ﻭﺍﻳﻀﺎ: i×j = k , j×k = i , k×i =
j
j× i = - k , k× j = - i , i× k = -
j
ﺑﺎﻟﺘﻌﻮﻳﺾ ﻓﻲ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻀﺮﺏ
ﺍﻻﺗﺠﺎﻫﻲ ﻳﻨﺘﺞ ﻣﺎ ﻳﻠﻲ:
A×B = (Ay Bz – Az By) i +
(Az Bx – Ax Bz) j + (Ax By -
Ay Bx) k
** ﻣﻠﺤﻮﻇﺔ :
1 ( ﻓﻲ ﺍﻟﻀﺮﺏ ﺍﻟﻘﻴﺎﺳﻲ:
A . B = B . A
2 ( ﻓﻲ ﺍﻟﻀﺮﺏ ﺍﻻﺗﺠﺎﻫﻲ :
A× B = B ×A
