ما هي أسس البرهنة في التفكير الرياضي ملخص أسس البرهنة في الفلسفة
ما هي أسس البرهنة في التفكير الرياضي ؟
مرحباً بكم متابعينا الأعزاء طلاب وطالبات العلم في موقعنا النورس العربي منبع المعلومات والحلول الذي يقدم لكم أفضل الأسئله بإجابتها الصحيحه من شتى المجالات التعلمية من مقرر المناهج التعليمية والثقافية ويسعدنا أن نقدم لكم حل السؤال الذي يقول........ ما هي أسس البرهنة في التفكير الرياضي ملخص أسس البرهنة في الفلسفة
الإجابة هي كالتالي
ما هي أسس البرهنة في التفكير الرياضي
ا- مدخل :
الرياضيات ككل متسق بالغ التجريد ، تتوقف فيه كل نظرية على نظرية أو نظريات أخرى ، وهي مجموعة علوم دقيقة مزدهرة .
وفلسفة الرياضيات تعنى بتحليل تصوراتنا عن العدد و المجموعة ... وغيرها من المفاهيم الرياضية . وأسس البرهنة على خاصية جديدة لشكل هندسي ما أو بيان العلاقة بين القضايا الرياضية وتسلسلها المنطقي ، والمسلمات المصرح بها منذ البداية ، وذلك لمعرفة مصدر الصرامة المنطقية الملاحظة في البرهنة الرياضية ، وعلاقة النتائج بالوقائع وبالمقدمات المستنبطة عنها ، ومعیار اليقين الذي تعودنا أن نضفيه على الحقائق الرياضية ، ثم كيف تنزع العلوم التجريبية إلى استخدام اللغة والمنهج الرياضيين ؟.
ب - أسس البرهنة في المنهج الرياضي :
الاستدلال الرياضي والأسس التي يقوم عليها عرف تطورات :
ففي الرياضيات التقليدية : منهج الاستدلال استنتاجي ، يستند إلى مبادئ ( بديهيات ، مسلمات ، تعاريف) والنتائج المستنبطة يقينية مطلقة ، ومعيار اليقين أن البرهنة تقوم على مبدأ عدم التناقض (اتساق الفكر مع نفسه)،،،
غير أن حركة النقد الداخلي التي بدأت مع رياضي القرن الماضي (ق19) والتي كانت نقطة البدء فيها محاولة البرهنة على مسلمة التوازي الإقليدية (المسلمة الخامسة) أتاحت فرصة ظهور فروض ثلاثة ، عرفت فيما بعد بــ:
_ في هندسة إقليدس : المكان سطح مستو ، ذو أبعاد ثلاثة يمتد إلى ما لانهاية ، وانحناؤه = 0
و من نقطة خارج المستقيم لايمر إلا مواز واحد ومجموع زوايا المثلث = 180 ، والكون غير محدود ولهذا المكان حجم ، بالنسبة للاشياء التي تقع تحت حواسنا .
- في هندسة ريمان (1826-1866) : المكان كروي محذب يشبه الكرة،، انحناؤه أكبر من الصفر عند الخطوط الموازية لخط معين التي تمر في نقطة معينة لامتناهية،، والكون يمتد إلى ما لا نهاية و مجموع زوايا المثلث أكثر من 180 ، وهذا الكون إنشاء عقلي خالص لامقابل له في عالم الحس .
- في هندسة لوباتشفسكي(1793- 1856) : المكان كروي مقعر، محدود، ينقفل على نفسه (مناظر للكرة)، الانحناء فيه أصغر من الصفر، مجموع زوايا المثلث أصغر من 180 ، وهو تصور عقلي للمكان لاعلاقة له بالحس ، فمن نقطة مستقيم لايمكن أن يمر إلا مواز له..
الفرق بين المنهجين :
- الهندسات اللاإقليدية عقلية خالصة ، تنطلق من تصور عقلي للمكان (مفرغ من مضمونه) و هندسة إقليدس تقوم على المكان الذي يقدمه الحدس الحسي .
الهندسات اللاإقليدية نظام عقلي خالص ، ينطلق من منظومة أوليات مثل : من نقطة خارج مستقيم لا يمكننا أن نرسم أي مواز وينتج أن مجوع زوايا المثلث تساوي أكثر أو أقل من 180 درجة،، في حين أن هندسة إقليدس نظام عقلي متماسك يقوم على حقائق مطلقة ( بديهيات، مسلمات، تعاریف)،، وأشكالها موجودة في الطبيعة، ومنطقية لأن تسلسل قضاياها استنتاجي فهي عقلية وواقعية في آن واحد .
_ البرهان في الهندسات اللاإقليدية فرضي إستنتاجي: من منظومة أوليات يضعها الرياضي في نقطة الابتداء ويستنتج ما يترتب عنها ، بينما البرهنة في الهندسة الإقليدية استنتاجية، فمن المبادئ "البديهيات" نستتبط ما ينتج عنها .
_صدق نتائج الهندسات اللاإقليدية مرتبط بالصلاحية المنطقية داخل النسق، أما الهندسات الإقليدية فاليقين يبدو منطقيا، واقعيا، ومطلقا، باعتبار أنه يقوم على حقائق مطلقة، وليس على مواضعات (منظومة أوليات) يختارها الرياضي ويفرغها من مضمونها الحسي .
- تعريفات ومصادرات ومبادئ إقليدس مختلفة في مضمونها وفي طبيعتها عن منظومة الأوليات في الهندسات الأخرى .
- الهندسة الإقليدية هي بمثابة وصف للواقع المدرك ، أما إذا استقل العقل عن الواقع فلا يستطيع أن يميز بين البديهية و المسلمة والتعريف ، كما هو الشأن في الهندسات العقلية الخالصة، التي ترى أن البديهية مجرد قضية لا تستنتج من غيرها ، وإنما يقررها العقل في نقطة الابتداء ، وينشئ بالاستناد إليها بقية القضايا ، فهي اصطلاح بمعزل عن الصدق والفساد ، اختار (بيانو Peano) مثلا حدودا أولية ثلاثة : الصفر ، العدد ، التالي ، وخمس مسلمات) هي بمثابة العلاقات المنطقية التي تبين استعمال تلك الحدود ، الصفر عدد ، التالي لعدد عدد ، ليس لعددين ما نفس التالي ، ليس الصفر تاليا لأي عدد ، کل خاصية للصفر بما تصدق عليه باعتباره عددا فهي تصدق على العدد التالي له ، كما تصدق على التالي لما يليه، وهكذا (أكسيوماتيك العدد)
بينما أقام إقليدس هندسته باستنباط صوري خالص ، من بديهيات ومصادرات وتعاريف ، مستعينا بقواعد الاستدلال الاستنباطي ، لأنه يعتقد بوجود حقائق ثابتة بديهية يستطيع العالم أن يكشف عنها حدسيا ، وأن يستند إليها في إنشاء علمه .
نتائج التعديل في البرهنة الرياضية :
_ كان المنهج الاستدلالي استنتاجيا ، وأصبح فرضيا - استنتاجيا ، وأصبحت الرياضيات تعرف بمنهجها لا بموضوعها الذي تجاوز بحث العلاقات الكمية .
_ إعادة النظر في مفهوم البديهية الذي أصبح مجرد اصطلاح، فالفكر الحديث لايرى أن هناك قضية علمية واضحة وضوحا مطلقا ، فهو ينشئ استدلالاته على فرضیات – بمعزل عن الصدق والكذب - يسلم بها كعلاقات منطقية صرفة ، على أن يبقى متقيدا بها ، فالعلم الحديث مجموعة علاقات ، كل منها يتغير بتغير الآخر.
_ الهندسة الإقليدية أمست جزءا بسيطا من علم يتوسع باستمرار ، وهي كمية في عالم مدركاتنا الحسية ، فقد برهنت نظرية النسبية والميكروفيزياء على أن المكان في مفهوم
"ريمان " أقرب إلى الواقع في مجموعه من مكان إقليدس.
_ بناء رياضيات على منظومة أوليات - يمكن لكل رياضي استبدالها في شروط منطقية لأن الأوليات مجرد علاقات منطقية صرفة - فتح آفاقا لتقدم الرياضيات الحديثة ولبقية العلوم الأخرى ، فالفيزياء الكلاسيكية كانت استقرائية أما الفيزياء الحديثة فأصبحت فرضية - استنتناجية أي نسق استنباطي ، لأن الموضوع لا تطاله الحواس ولا الخيال ، فهو عقلي خالص يثبته التطبيق دون أن يرى العالم الواقعة . وما كان لأنشتین " أن يكتشف النسبية لو لم يعتمد على مكان "ريمان " الذي أثبتت التجربة وظيفته الإجرائية.
_ انفصال الرياضيات الحديثة عن الواقع الخارجي ، فهي كنسق استتباطي ينبني على أوليات مستقلة عن الواقع. فالتصورات الرياضية صورية محضة ، ورموزه تدل على معان : أعداد ، مجاهيل ... كما انفصلت الرياضيات الحديثة عن الرياضيات التطبيقية ، فالرياضيات المحضة تنشئ عالمها النظري الخالص، وهذا الانتقال من الحدس الحسي - حيث يتلقى الإنسان الأشياء - إلى الحدس العقلي، - حيث يفرض الإنسان نفسه على المحسوسات - مكن الفكر العلمي الحديث من التحدث عن الذرات في أدق أجزائها ، وصياغة مجموعة كبيرة من الظواهر في معادلة رياضية واحدة ، ومن ثم تحويل الظاهرة المادية إلى علاقات رياضية .
ج - أنواع البرهان الرياضي :
- البرهان هو الحجة الفاصلة ، والرياضيات هي نموذج العلم البرهاني أي الاستنباط الرياضي يشكل تسلسلا منطقيا للقضايا ويستمد صلاحيته المنطقية من المسلمات المصرح بها منذ البداية ، وهو على نوعين :
1-1 - برهان تحلیلي مباشر : وهو ربط القضية المراد إثباتها بقضية صادقة أيسط منها بحيث تكون كل قضية نتيجة للتي بعدها ، وتكون القضية الأولى نتيجة للقضية الأخيرة وصادقة مثلها.
ا-2 - برهان تحليلي غير مباشر : يبرهن على صدق قضية باستنباط تناقض بين إنكار القضية والتسليم بالأسس الأولى المنطلق منها ، فالرياضي لا يبرهن على القضية ذاتها وإنما يكشف عن استحالة نقيضها أو بالأحرى بطلانها ( البرهان بالخلف ذكر مثال محدد الطريقة التنفيذ ).
ب - برهان تركيبي : البدء بقضية صادقة تنتج عنها بالضرورة قضايا أخرى وهي بدورها تنتج قضايا جديدة ، حتى نصل إلى القضية التي نريد البرهنة عليها وتكون صادقة بالتالي ، لأنها نتيجة لازمة عن سلسلة القضايا . (مثال من مكتسبات التلاميذ) .
وفي هذه البرهنة نعتمد على الأسس الأولى (مبادئ أو منظومة أوليات) ومبدا التناقض ، الذي هو أساس المعقولية في البرهانين الواقع أن البرهان الرياضي لايفصل بين التحليل والتركيب أثناء الحركة الفكرية .
