شرح الاتحاد والتقاطع في المجموعات / أمثلة على الاتحاد والتقاطع في المجموعات بدون تحميل
الإتحاد والتقاطع في المجموعات
المجموعة الشاملة لمجموعات معطاة هي المجموعة التي تحوي كل هذه المجموعات ويرمز لها بالرمز ش
أمثلة
مثال 1) :
لتكن س مجموعة الطلبة في مدرستك , ع مجموعة طلاب الصف الثامن في مدرستك , م مجموعة طلاب الصف السادس في مدرستك .
من المثال نلاحظ مايلي : ع ﬤ س , م ﬤ س , س ﬤ س وهذا يعني أن س تحوي المجموعات الثلاث معا , وبالتالي نسميها المجموعة الشاملة .
مثال2 )
إذا كانت ف = { 1 , 2 } , ن = { 2 , 3 , 4} , نلاحظ أن :
ف ليست جزئية من ن , وكذلك ن ليست جزئية من ف
لذا نبحث عن مجموعة شاملة للمجموعات الثلاث معا وهي :
ش = { 1 , 2 , 3 , 4 } وتسمى هذه بالمجموعة الشاملة
تقاطع المجموعات
التقاطع أحد العمليات على المجموعات ومن الممكن أن نعرف تقاطع مجموعتين كالتالي :
تقاطع مجموعتين س و ص هي مجموعة كل العناصر التي تنتمي إلى س , وتنتمي إلى ص في آن واحد . ونرمز لها بالرمز س ∩ ص , وتقرأ س تقاطع ص .
ويمكن أن نميز التقاطع بمنطقة مظللة في الرسم .
مثال 1)
إذا كانت أ= { 2 , 3 , 4 ,5 } , ب= { 2 , 3 , 6 , 7}
أوجد أ ∩ ب ومثل ذلك بشكل فن ؟
الحل :
أ ∩ ب = { 2 , 3 }
عملية الاتحاد
أتحاد مجموعتين س , ص هي مجموعة العناصر التي تنتمي إلى س أوتنتمي إلى ص أو إلى كليهما.
ويرمز لها بالرمز س U ص وتقرأ س أتحاد ص . ويمكن تمييزها بتظليلها بخطوط أو التظليل الكامل.
أمثلة
مثال 1)
إذا كانت أ= { 2 , 3 , 4} ب= { 2 , 3 , 6 , 7}
أوجد أ U ب ومثل ذلك بشكل فن ؟
الحل :
أ U ب = { 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 } جميع الأرقام الموجودة في المجموعتين , ويدل على ذلك المنطقة المظللة بخطوط كاملة في الرسم ’ بينما منطقة التقاطع واضحة فهي مظللة بخطوط متقاطعة أفقيا وراسيا .
أمثلة عامة
الشكل 1
الشكل2
من الشكلين السابقين الموجودة أوجد مايلي :
1) ش ∩ أ = أ وهذا يعني أن أي مجموعة في المجموعة
الشاملة تمثل التقاطع مع المجموعة الشاملة
2) أ∩ ﺠ = ﺠ لأن المجموعة ﺠ موجودة داخل المجموعة أ
3) ش U أ = ش وهذا يعني أن المجموعة الشاملة تمثل الأتحاد
لأي مجموعة أخرى موجودة معها
4) أU ﺠ = ش لأن المجموعة الشاملة هي من تحتوي المجموعتين كلاهما
الشكل الثاني :
1) أ ∩ ب = ø وذلك لأن المجموعتان منفصلتان
أ U ب =ش كل عناصر المجموعتين ( المجموعة الشاملة)
الفرق بين مجموعتين
المجموعة س فرق المجموعة ص , هو مجموعة عناصرها تنتمي إلى المجموعة س ولا تنتمي إلى المجموعة ص ونرمز لذلك بالرمز : س / ص .
س / ص = { أ : أ ∈ س , أ ∉ ص }
إذا كانت س = { 3 , 4 ,5 } , ع = { 4 , 5 , 6 }, أوجد مايلي :
1) س / ع , ومثلها بشكل فن
2) ع / س ومثلها بشكل فن
الحل :
1) س / ع = { 3 , 4 ,5 } / { 4 , 5 , 6 }
= { أ : أ ∈ س , أ ∉ ع } = { 3 }
ونمثلها بالمنطقة المظللة في الرسم
2) ع / س = { 4 , 5 , 6 } / { 3 , 4 ,5 }
={ أ : أ ∈ ع , أ ∉ س } = {6} .
المجموعة المتممة
المجموعة المتممة لمجموعة س هي مجموعة العناصر التي تنتمي إلى المجموعة ش الشاملة ولا تنتمي إلى المجموعة س ويرمز لها بالرمز سَ . أي أن :
سَ = { أ : أ ∈ ش , أ ∉ س }
أمثلة
مثال :
إذا كانت ش = { 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 }
س = { 3 , 4 , 7 } , ص = { 4 , 7 , 5 , 8 } , أوجد مايلي:
1) سَ 2) صَ ومثلهما بأشكال فن ؟
الحل :
1) سَ = ش / س = { 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 } / { 3 , 4 , 7 }
={ 5 , 6 , 8 }
وتمثلها المنطقة المظللة في الشكل
2) صَ = ش / ص
= { 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 } / { 4 , 7 , 5 , 8 }= { 3 , 6 }
وتمثلها المنطقة المظللة في الشكل التالي
3) أوجد صً ؟
صً = ص نفسها أي أن متممة المتممة يساوي المجموعة نفسها
قانونا دي مورجان
1) ( س U ص )َ = سَ ∩ صَ
2) (س ∩ ص )َ = سَ U صَ
أمثلة
مثال :
إذا كانت ش = { 11 ، 12 ، 13 ، 14 ، 15 ، 16 ، 17 ، 18 ، 19 }
س = { 11 , 12 , 13 , 14 , 18 } , ص = {14 , 15, 16 , 18 } , فأوجد
1) (س ∩ ص) َ
2 ) (س Uص)َ
الحل :
أولاً نوجد : سَ = { 15 , 16 , 17 , 19 }
صَ = { 11 ، 12 ، 13 ، 17 ، 19 }
باستخدام قانوني دي مورجان :
1) (س ∩ ص )َ
= سَ U صَ
={ 15 , 16 , 17 , 19 } ∪ { 11 ، 12 ، 13 ، 17 ، 19 }
= {11، 12، 13، 15، 16 ،17 ،19}
2) (س U ص )َ
= سَ ∩ صَ
={ 15 , 16 , 17 , 19 } ∩ { 11 ، 12 ، 13 ، 17 ، 19}
= { 17، 19}
مثال :
إذا كانت المجموعة الشاملة هي مجموعة الأرقام في النظام العشري ، ما
متممة مجموعة أرقام العدد 299735 ؟
الـحــــل:
مجموعة الأرقام في النظام العشري هي = {0 ، 1 ، 2 ،3 ، 4 ، 5 ،6 ،7، 8 ،9}
وبالتالي فإن متممة مجموعة أرقام العدد 299735 هي {0 ، 1 ، 4 ، 6 ، 8}
مثال
إذا كانت س ، ص مجموعتين ش مجموعة شاملة فإن :
1) س ⋃ سَ = ش 2) س ∩ سَ = ø
3) سَ ⋃ ش = ش 4) سَ ∩ ش = سَ
5) شَ = øَ ( 6 øَ = ش
7 ) سَ ⋃ Ø = سَ 8) سَ ∩ Ø = ø
