تعريف التطبيق في الرياضيات؟ انواعة مدى التطبيق ملخص مفصل كامل حول دراسة التطبيق
شرح درس التطبيق
تحضير التطبيق
معادلات وامثلة على التطبيق في الرياضيات
مرحباً بكم متابعينا الأعزاء طلاب وطالبات العلم في موقعنا النورس العربي منبع المعلومات والحلول الذي يقدم لكم أفضل الأسئله بإجابتها الصحيحه من شتى المجالات التعلمية من مقرر المناهج التعليمية والثقافية ويسعدنا أن نقدم لكم حل السؤال الذي يقول........ تعريف التطبيق في الرياضيات؟ انواعة مدى التطبيق ملخص مفصل كامل حول دراسة التطبيق
الإجابة هي
تعريف التطبيق: يقال العلاقة من مجموعة س إلى مجموعة ص أنها دالة أو تطبيق إذا كان: كل عنصر من عناصر س يرتبط بعنصر واحد فقط من عناصر ص.
في أي دالة يتحقق ما يلي:
1) في بيان الدالة: كل عنصر من عناصر س يظهر مرة واحدة فقط كمسقط أول في أحد الأزواج المرتبة التي تنتمي إلى بيان الدالة.
2) في المخطط السهمي: كل عنصر من عناصر س يخرج منه سهم واحد فقط إلى أحد عناصر ص.
3) في المخطط البياني: كل خط رأسي تقع عليه نقطة واحدة فقط من النقط التي تنتمي للدالة.
مـدى التطبيـق: هو مجموعة صور عناصر المجال.
قاعدة التطبيق: هي العلاقة التي تربط كل عنصر من المجال بصورته في المجال المقابل.
ملاحظات هامـة:
[1] يتعين التطبيق بثلاثة أشياء هي:
(1) مجال التطبيق س. (2) المجال المقابل (ص).
(3) قاعدة التطبيق: التي تربط عناصر (س) بعناصر (ص) ويرمز لها بالرمز ت (س) = ص
[2] إذا كانت ت تطبيق من المجموعة س إلى المجموعة ص فتكتب:
ت : س ص وتقرأ ت تطبيق من س إلى ص.
• وإذا كان الزوج المرتب (س ، ص) ينتمي إلى بيان التطبيق ت فإن العنصر ص يسمى صورة العنصر س بالتطبيق ت.
• ونكتب ذلك بإحدى الصور:
ت : س ↤ ص أو: س ↤ ص أو: ت (س) = ص
والصورة الأخيرة أكثر الصور شيوعاً.
مثــال (1): أي العلاقات التالية تمثل تطبيق؟ أذكر السبب؟
الـحــل:
ع1 ليست تطبيقاً لأن العنصر 3∋ المجال لم يخرج منه سهم إلى المجال المقابل.
ع2 ليست تطبيقاً لأن العنصر ب ∋ المجال خرج منه سهمان إلى المجال المقابل.
ع3 تطبيق لأن كل عنصر من المجال ارتبط بعنصر واحد فقط من المجال المقابل.
مثال(2):إذا كان س= {أ، ب ، ج } ، ص= {2،4، 6، 8، 10} فأي العلاقات الآتية تطبيق:
ع1={(أ، 2) ، (ب، 4)}.
ع2= {(أ، 2) ، (ب، 4)، (ب، 6)، (ج، 8)}.
ع3= {(أ، 2) ، (ب، 8)، (ج، 10)}.
ع4= {(أ، 2) ، (أ، 4)، (ب، 6)، (ب، 8)، (ج، 10)}.
الـحــل:
ع1 ليست تطبيقاً لأن العنصر ج∋ المجال لم يرتبط بأن عنصر من المجال المقابل.
ع2 ليست تطبيقاً لأن العنصر ب قد ظهر مرتين كمسقط أول في الأزواج المرتبة لهذه العلاقة..
ع3 تطبيق لأن كل عنصر من المجال ارتبط بعنصر وحيد من المجال المقابل.
ع4 ليست تطبيقاً لأن العنصر أ و العنصر ب قد ظهر مرتين في الأزواج المرتبة لهذه العلاقة.
حل تمارين ومسائل الكتاب المدرسي صـ (38-40)
عـــلــى التطبــيــق
[1] أيّ العلاقات في الأشكال التالية تمثّل تطبيقاً؟ أذكر السبب.
الحــل:
ع1 لا تمثل تطبيق لأن العنصر ب من س يرتبط بعنصرين مختلفين من ص هما (2،3)
ع2 تمثل تطبيق لأن كل عنصر من المجال له صورة وحيدة في المجال المقابل.
ع3 لا تمثل تطبيق لأن العنصر4 من س لم يرتبط بأي عنصر من ص.
أو لأن العنصر (3) من س يرتبط بأكثر من عنصر من ص.
ع4 تمثل تطبيق لأن كل عنصر من س يرتبط بعنصر واحد فقط من ص.
[2] إذا كانت س = {أ ، ب، ج }، ص= {0، 1}، بيّن أياً من العلاقات التالية تمثل تطبيقاً من س إلى ص؟ أذكر السبب.
ع1 = {(أ، 0)، (ب، 1)، (ج، 1)} ، ع2 = {(ج، 0)، (ب، 1)، (ج، 1)}،
ع3 = {(أ، 0)، (ب، 1)، (أ، 1)، (ج ، 0)}،
ع4 = {(أ، 0)، (ب، 0)، (ج ، 0)} ، ع5 = {(أ، 1)، (ج ، 1)}.
الحـــل:
ع1 تمثل تطبيق لأن كل عنصر من س يرتبط بعنصر واحد فقط من ص.
ع2 لا تمثل تطبيق لأن العنصر ج قد ظهر مرتين كمسقط أول في الأزواج المرتبة لهذه العلاقة.
ع3 لا تمثل تطبيق لأن العنصر أ قد ظهر مرتين كمسقط أول في الأزواج المرتبة لهذه العلاقة.
ع4 تمثل تطبيق لأن كل عنصر من س يرتبط بعنصر واحد فقط من ص.
ع5 لا تمثل تطبيق لأن العنصر ب من س لم يرتبط بأي عنصر من ص.
[3] في السؤال رقم (2) عين المجال والمجال المقابل للتطبيقات، ثم مثلها سهمياً وبيانياً.
الحـــل:
المجال = {أ، ب ، ج{ المجال المقابل = {0، 1}
التمثيل السهمي والبياني لـ ع1
التمثيل السهمي والبياني لـ ع4
[4]إذا كانت م = {4، 5 ، 6} ، ل = {6، 8، 10، 12}، وكان ت: م↤ل معرفاً بالقاعدة أ↤2أ-2.
أ) أكتب صورة كل عنصر، ثم أكتب مدى التطبيق.
ب)أكتب التطبيق كأزواج مرتبة،ثم أرسم المخطط السهمي والبياني لهذا التطبيق.
الحـــل:
أ) ت ( أ ) = 2أ - 2
ت (4)= 2×4-2 = 6
ت (5)= 2×5 -2= 8
ت (6) = 2× 6 - 2 = 10
مدى التطبيق = {6، 8، 10}
ب) ت ={(4، 6)، (5، 8)، (6، 10)}
[5] لتكن س={1، 2، 3، 4}، ص ={15، 34، 43، 55، 92 }، وكانت ع علاقة معرفة من س إلى ص، حيث:
ع = {(أ، ب): أ∋ س ، ب∋ ص ، أ رقم من أرقام العدد ب}،
أ) أرسم المخطط البياني للعلاقة ع، ب) هل ع تمثل تطبيقاً؟ ولماذا؟.
الحـــل:
ع= {(1، 15)، (2، 92)، (3، 34)، (3، 43)، (4، 34)،(4، 43)}
ع لا تمثل تطبيقاً لأن العنصر 3 أو 4 ظهر مرتين كمسقط أول في الأزواج المرتبة لهذه العلاقة.
[6] المخططات السهمية التالية تمثل تطبيقاً، لماذا؟ عين قاعدة ومدى هذه التطبيقات.
الـحــل:
المخططات السهمية تمثل تطبيقاً لأن كل عنصر من س يرتبط بعنصر واحد من ص.
شكل (1- 29أ) قاعدة التطبيق ت (أ)= 2أ +3
مــدى التطبيـــق ت={5، 7، 9}
شكل (1-29ب) قاعدة التطبيق ت (أ) = أ2
مــدى التطبيـــق ت = {1، 4}
شكل (1-29ج( قاعدة التطبيق ت (أ) = أ
مــدى التطبيـــق ت = {1، 2، 3}
[7] لتكن ك ={1، 2، 3، 4}، ل = {2 ، 3، 6، 11، 18} ، وكانت ت : ك ل
معرفاً بالقاعدة أ↤أ2+2 فأوجد صورة كل عنصر، ثم أوجد مدى التطبيق.
الحـــل:
قاعدة التطبيق هي: ت (أ) = أ2 + 2
ت (1) = 21 + 2 = 3 ، ت (2) = 6
ت (3) = 11 ، ت (4) = 18
المدى = {3 ، 6 ، 11 ، 18}
[8] ت تطبيق مجاله س = {0، 5، 10، 15}، ومجاله المقابل ط (ط مجموعة الأعداد الطبيعية) وقاعدته هي أ↤أ+ 10:
أ) أوجد مدى التطبيق، ب) أكتب التطبيق كأزواج مرتبة.
الحــل:
ت (أ) = أ + 10
ت (0) = 10 ، ت (5) = 15 ، ت (10) = 20
ت (15) = 25
ت = {(0 ، 10) ، (5 ، 15) ، (10 ، 20) ، (15 ، 25)}
المدى = {10 ، 15 ، 20 ، 25}
[9] ت تطبيق مجاله س= {0، 1، 2، -1، -2}، ومجاله المقابل ص، معرفاً بالقاعدة أ↤أ2 -3.
أ) أكتب التطبيق كأزواج مرتبة ثم أوجد مداه.
ب) أرسم المخطط السهمي للتطبيق.
الحـــل:
(أ) ت ( أ ) = أ2 - 3.
ت ( 0 ) = 0 - 3= -3
ت ( 1 ) = 1 -3 = - 2.
ت ( 2 )= 4-3 = 1
ت (-1) = 1-3= -2.
ت (-2) = 4-3=1
ت= {(0، - 3)، (1، - 2)، (2 ،1)، (- 1، - 2)، (-2، 1)}
مدى التطبيق= {-3، -2، 1}
[10] أي العلاقات التالية المعرفة على س = {1، 2، 3، 4، 5، 6} تمثل تطبيقاً؟ أذكر السبب.
ع1 = {(1، 6)، (2، 5)، (3، 4)، (4، 3)، (5، 2)، (6، 1)}
ع2= {(أ، ب) : أ ، ب∋ س، أ =2ب}
ع3= {(أ، ب): أ ، ب ∋ س ، أ = 7 -ب} ارسم بيانياً فقط العلاقات التي تمثل تطبيقاً.
الحــــــــــــــل:
ع1 تمثل تطبيقاً لأن كل عنصر من س يرتبط بعنصر واحد فقط من ص.
ع2 = {(2، 1)، (4، 2)، (6، 3)}
لاتمثل تطبيقاً لأن مثلاً العنصر 1∋ المجال لم يرتبط بأي عنصر من المجال المقابل.
ع3 = {(6 ، 1) ، (5 ، 2) ، (4 ، 3) (3 ، 4) ، (2، 5) ، (1، 6)}
ع3 تمثل تطبيقاً لأن كل عنصر من المجال له صورة وحيدة في المجال المقابل.
