أمثلة قاعدة الإشارات في الرياضيات ضرب وجمع وطرح وقسمة الأعداد السالبة والموجبة

Question

قاعدة الإشارات في الرياضيات - ضرب وجمع وطرح وقسمة الأعداد السالبة والموجبة. 

أمثلة قاعدة الإشارات في الرياضيات ضرب وجمع وطرح الأعداد السالبة والموجبة. 

أمثلة على ضرب وجمع وطرح الأعداد السالبة والموجبة. 

نسعد أن نقدم لكم حل السؤال الذي يقول...قاعدة الإشارات في الرياضيات - ضرب وجمع وطرح الأعداد السالبة والموجبة. موضحاً اجابتة الصحيحة كماهيئ اسفل الصفحة ويسعدنا زيارتكم موقع النورس العربي أن نقدم لكم أصدق المعلومات والاجابات الصحيحة على أسالتكم التي تقدمونها ولكم الأن حل السؤال الذي يقول..... قاعدة الإشارات في الرياضيات - ضرب وجمع وطرح الأعداد السالبة والموجبة

 الإجابة هي 

(قاعدة الإشارات في الرياضيات)

ضرب وجمع وطرح الأعداد السالبة والموجبة. 

الجمع والطرح:

(-) + (-) = (-) ونجمع

(-) - (-) = (-) ونجمع

(+) + (+) = (+) ونجمع

(+) - (+) = (+) ونطرح

(-) + (+) = اشارة الأكبر ونطرح

الضرب والقسمة:

(+) . (+) = +

(-) . (-) = +

(+) . (-) = -

الإشارات 

نحاول تقسيم القاعدة الى أربعة أجزاء ليسهل حفظها وتذكرها

1) في الجمع والطرح (+،-) إذا اختلفت الإشارات نأخذ إشارة الكبير ونطرح

مثلا -8 + 7 = -1 إشارة الكبير هو عدد ثمانية (-) ونطرح 8-7

2) في الجمع والطرح (+،-) إذا تشابهت الإشارات هناك عدة طرق

ا) (+5) + (-3) =(+5) - (+3) = +2

ب) (-7) - (+9) =(-7) + (-9) = -16

ج) (+5) - (+3) = +2

+5 - 3 = +2

3) في الضرب والقسمة (×،÷) إذا اختلفت الإشارات نضع إشارة (-)

مثلا 5×-3 = -15

15÷(-3) = -5

4) في الضرب والقسمة (×،÷) إذا تشابهت الإشارات نضع إشارة (+)

-4×-8 = +32

-32÷ (- 8 )= +4

الجمع.

     يمكن توضيح عملية الجمع بجمع العدد + 5 والعدد - 7، أي (+5) + (-7).

الأعداد الموجبة والسالبة

      وقاعدة الإشارات والأوليات في الرياضيات وتنظم حساب الأعداد السالبة والموجبة.

 قاعدة السالب والموجب

 (+) + (+) = +

(+) + (-) = نطرح ونأخذ إشارة الأكبر

(-) + (-) = -

(-) - (-) = نطرح ونأخذ إشارة الأكبر

(-) x (+) = -

(+) x (+) = +

(-) x (-) = +

الأعداد الموجبة والسالبة

    في علم الحساب، نستطيع جمع وضرب وقسمة الأعداد الطبيعية ولكننا لا نستطيع دائما طرح هذه الأعداد.

 فمثلاً 3 - 5 لا تعني شيئا في علم الحساب. 

     غير أن الجبر استطاع أن يتغلب على هذه المشكلة وذلك بتوسيع نظام الأعداد الطبيعية. ففي الحساب المعتاد تمثل الأعداد المـقادير فقـط، فتحـدثنا عن كم من الأشياء في مجموعة.

     ولكن كثيراً من القياسات التي نواجهها في حياتنا اليومية تهتم بمعرفة كل من المقدار والاتجاه. 

    ومن الأمثلة الجيدة على ذلك قياس درجات الحرارة

حيث هناك درجات حرارة فوق الصفر وأخرى تحت الصفر. 

في الجبر نستخدم أعدادًا تبين الاتجاه.

وباستطاعتنا توضيح هذه الأعداد الجديدة على خط كما يلي.

    نأخذ العدد صفر ليكون نقطة الأصل أو البداية.

 النقاط الواقعة على يسار الصفر تعين مسافة أو اتجاهًا موجبًا، هذه الأعداد تمثل درجات الحرارة فوق الصفر في المثال السابق.

      أما النقاط الواقعة على يمين الصفر فإنها تدل على مسافة أو اتجاه سالب، وهذه الأعداد تمثل درجات الحرارة تحت الصفر.

      فالنقطة أ لا تدل على العدد 1 فحسب ولكن + 1، أي العدد الموجب 1.

 وتدل الإشارة + على الاتجاه الموجب. 

كذلك تدل النقطة ب على العدد - 1، أي العدد السالب 1 وليس العدد 1 فقط.

 وتدل الإشارة (-) على الاتجاه السالب. 

وتسمى الأعداد الممثلة على خط الأعداد بالأعداد الموجبة والأعداد السالبة. 

 ويمكن استخدام هذه الأعداد في حياتنا اليومية لتدل مثلاً على درجات الحرارة، عدد الأمتار فوق مستوى أو تحت مستوى سطح البحر، التغير في أسعار سوق الأسهم، الأرباح التجارية، وكثير من الاستخدامات الأخرى. ومقابل كل عدد موجب يوجد عدد سالب مساو له في المقدار،

 فالعدد 7 على سبيل المثال يعني دائما سبعة أشياء موجباً كان أم سالبا.

 وتعرف القيمة المطلقة لعدد بأنها القيمة الحسابية لذلك العدد.

 وبمقدورنا جمع وطرح وضرب وقسمة الأعداد الموجبة والسالبة معا

 ولكن بقواعد تختلف عن تلك المستخدمة على الأعداد في الحساب المعتاد.

Answer 1

الأعداد الموجبة والسالبة

    

  وقاعدة الإشارات والأوليات في الرياضيات وتنظم حساب الأعداد السالبة والموجبة.

 قاعدة السالب والموجب

 (+) + (+) = +

(+) + (-) = نطرح ونأخذ إشارة الأكبر

(-) + (-) = -

(-) - (-) = نطرح ونأخذ إشارة الأكبر

(-) x (+) = -

(+) x (+) = +

(-) x (-) = +

الأعداد الموجبة والسالبة

    في علم الحساب، نستطيع جمع وضرب وقسمة الأعداد الطبيعية ولكننا لا نستطيع دائما طرح هذه الأعداد.

 فمثلاً 3 - 5 لا تعني شيئا في علم الحساب.

     غير أن الجبر استطاع أن يتغلب على هذه المشكلة وذلك بتوسيع نظام الأعداد الطبيعية. ففي الحساب المعتاد تمثل الأعداد المـقادير فقـط، فتحـدثنا عن كم من الأشياء في مجموعة.

     ولكن كثيراً من القياسات التي نواجهها في حياتنا اليومية تهتم بمعرفة كل من المقدار والاتجاه.

    ومن الأمثلة الجيدة على ذلك قياس درجات الحرارة

حيث هناك درجات حرارة فوق الصفر وأخرى تحت الصفر.

في الجبر نستخدم أعدادًا تبين الاتجاه.

وباستطاعتنا توضيح هذه الأعداد الجديدة على خط كما يلي.

    نأخذ العدد صفر ليكون نقطة الأصل أو البداية.

 النقاط الواقعة على يسار الصفر تعين مسافة أو اتجاهًا موجبًا، هذه الأعداد تمثل درجات الحرارة فوق الصفر في المثال السابق.

      أما النقاط الواقعة على يمين الصفر فإنها تدل على مسافة أو اتجاه سالب، وهذه الأعداد تمثل درجات الحرارة تحت الصفر.

      فالنقطة أ لا تدل على العدد 1 فحسب ولكن + 1، أي العدد الموجب 1.

 وتدل الإشارة + على الاتجاه الموجب.

كذلك تدل النقطة ب على العدد - 1، أي العدد السالب 1 وليس العدد 1 فقط.

 وتدل الإشارة (-) على الاتجاه السالب.

وتسمى الأعداد الممثلة على خط الأعداد بالأعداد الموجبة والأعداد السالبة.

 ويمكن استخدام هذه الأعداد في حياتنا اليومية لتدل مثلاً على درجات الحرارة، عدد الأمتار فوق مستوى أو تحت مستوى سطح البحر، التغير في أسعار سوق الأسهم، الأرباح التجارية، وكثير من الاستخدامات الأخرى. ومقابل كل عدد موجب يوجد عدد سالب مساو له في المقدار،

 فالعدد 7 على سبيل المثال يعني دائما سبعة أشياء موجباً كان أم سالبا.

 وتعرف القيمة المطلقة لعدد بأنها القيمة الحسابية لذلك العدد.

 وبمقدورنا جمع وطرح وضرب وقسمة الأعداد الموجبة والسالبة معا

 ولكن بقواعد تختلف عن تلك المستخدمة على الأعداد في الحساب المعتاد.

Answer 2

طرح الاعداد الصحيحة

عند طرح عدد صحيح من آخر يتم اضافة معكوس ذلك العدد الى الآخر.

بمعنى انه عند الطرح, في حال كان الرقم الذي بعد اشارة الطرح سالباً يصبح موجباً, وفي حال كان موجباً نقوم بالطرح مباشرة.

امثلة: اوجد ناتج كل مما يلي:

-٣ - ٦ = -٣ + (-٦) = -٩

٩ - ٤ = ٩ + (-٤) = ٥

١٤ -(-٥) = ١٤ + ٥ = ١٩

الضرب.

     قاعدة ضرب عددين ذَوي إشارة هي:

نضرب القيم المطلقة للعددين.

 فإذا تشابه العددان في الإشارة كان الناتج موجبًا، وإذا اختلف العددان في الإشارة فإن الناتج يكون سالبًا.

(+ 3) × (+ 8) = (+ 24)

(- 3) × (- 8) = (+ 24)

(+ 3) × (- 8) = (- 24)

(- 3) × (+ 8) = (- 24)

ضرب الاعداد الصحيحة

ناتج ضرب عددين مختلفي الاشارة هو عدد سالب, كما ان ناتج ضرب عددين متشابهين بالإشارة هو عدد موجب.

امثلة: اوجد ناتج كل مما يلي:

-٥ x ٨ = -٤٠ مختلفي الاشارة الناتج سالب

-٢ x -٥= ١٠ متشابهين بالإشارة الناتج موجب

٢ x ٤ = ٨

القسمة.

      قاعدة قسمة عددين ذَوي إشارة مشابهة لقاعدة ضربهما: إذا كان العددان متشابهين في الإشارة كان خارج القسمة موجبًا، وإذا اختلفا في الإشارة كان سالباً.

(+ 24) ÷ (+ 3) = (+ 8)

(- 24) ÷ (- 8) = (+ 3)

(+ 24) ÷ (- 3) = (- 8)

(- 24) ÷ (+ 8) = (- 3)

      وعند استخدامنا الأعداد السالبة في الجبر نقوم بتوسيع مجالات المتغيرات. فعلى سبيل المثال لا يوجد حل للمعادلة س + 4 = 1 في مجموعة الأعداد الطبيعية، ولكن - 3 جذر للمعادلة في مجموعة الأعداد الموسعة. كذلك بالإمكان استخدام العمليات التي طبقناها على الأعداد ذات الإشارة، على المتغيرات التي تمثل الأعداد، فيكون بمقدورنا التعامل مع مقادير مثل (- س) أو (-ص).  

قسمة الاعداد الصحيحة

نفس قوانين الضرب، فقسمة عددين مختلفي الاشارة هو عدد سالب, وقسمة عددين متشابهين بالإشارة هو عدد موجب.

امثلة: اوجد ناتج كل مما يلي:

٣٢÷(-٨)=-٤ مختلفات بالإشارة فالناتج سالب.

-١٦÷(-٢)=٨ متشابهين بالإشارة فالناتج موجب.

قاعدة الإشارات في الرياضيات

الجمع (+) :

مــوجب + مــوجب = موجب ~> ونتمم الجمع (+6) + (+2) = (+8)

ســـالب + ســـالب = ســالب ~> ونتمم الجمع (-6) + (-2) = ( - 8)

ســـالب + مــوجب = نأخذ إشارة الكبير ونطرح (-6) + (+2) = (-4)

(+6) + (-2) = (+4)

أمثلة على الجمع

(+4) +(+5) = +9

(-4) +(-5) = -9

+4) +(-5) = -1

(-4) +(+5) = +1

(+) + (+) = +

(-) + (-) = -

(+) + (-) =

(-) + (+) = إذا اتفق العددان في الإشارة فإننا نجمع العددين ونضع اشارتهم.

إذا كان العددين مختلفين في الاشارة نأخذ الفرق بين العددين ونضع اشارة العدد الذي قيمته المطلقة أكبر.

--------------------------

الطرح (-) :

مــوجب - مــوجب = موجب ~> ونتمم الطرح (+6) - (+2) = (+4)

ســـالب - ســـالب = ســالب ~> ونتمم الطرح (-6) - (-2) = (-4)

ســـالب - مــوجب = نأخذ إشارة الكبير ونطرح (-6) - (+2) = (-4) &

(+6) - (-2) =(+4)

أمثلة على الطرح

(+6) - ( +8 ) =

(+6) - ( -8 ) =

(-6) - ( +8 ) =

(-6) - ( -8 ) =

(+6) + ( -8 ) = -2

(+6) + ( +8 ) = +14

(-6) + ( -8 ) = -14

(-6) + ( +8 ) = +2

نحول عملية الطرح إلى عملية جمع المعكوس.

ثم نكمل عملية الجمع باستخدام قاعدة اشارات الجمع السابقة .

__________

الضرب (x) :

مــوجب x مــــوجب = موجب ~> ونتمم الضرب (+6) x (+2) = (+12)

ســـالب x ســـــالب = موجب ~> ونتمم الضرب (-6) x (-2) = (+12)

ســـالب x مـــوجب = ســالب ~> ونتمم الضرب (-6) x (+2) = (-12)

(+6) x (-2) =(-12)

أمثلة على الضرب

(+3) × (+7) = +21

(-3) × (-7) = +21

(+3) × (-7) = -21

(-3) × (+7) = -21

 (+) × (+) = +

(-) × (-) = +

(+) × (-) = -

(-) × (+) = -

اذا اتفق العددان في الإشارة فإننا نضرب العددين ونضع الإشارة الموجبة.

اذا كان العددين مختلفين في الاشارة فإننا نضرب العددين ونضع الإشارة السالبة .

--------------------------

القسمة (÷) :

مــوجب ÷ مــوجب = موجب ~> ونتمم القسمة (+6) ÷ (+2) = (+3)

ســـالب ÷ ســـالب = موجب ~> ونتمم القسمة (-6) ÷ (-2) = (+3)

ســـالب ÷ مــوجب = ســالب ~> ونتمم القسمة (-6) ÷ (+2) = (-3) &

(+6) ÷ (-2) =(-3)

أمثلة على القسمة

(+24) ÷ (+6) = +4

(-24) ÷ (-6) = +4

(+24) ÷ (-6) = -4

(-24) ÷ (+6) = -4

(+) ÷ (+) = +

(-) ÷ (-) = +

(+) ÷ (-) = -

(-) ÷ (+) = -

قاعدة الاشارات من اهم القواعد بمادة الرياضيات

غلط واحد بس يمكن يضيع عليكم مسأله كامله

 قاعدة الاشارات في الجمع والطرح

* (+ )+ (+) = +

مثال : 1 + 2 = 3

* (+) + ( _ ) = في اختلاف الاشارات نضع إشارة العدد الأكبر و (نطرح)

مثال :

5 - 3 = 2 >> هنا الأكبر الخمسة لذلك اشارة الناتج بالموجب

وفي الحالة الثانية

3 - 5 = -2 >> وايضاً هنا الاكبر الخمسة ولكنها جاءت سالبه فنضع اشارتها ونطرح عادي

* (-) + (-) = سالب ( - )

في تشابه الاشارات السالبة والعملية بينهم جمع (نجمع العددين) واشارة الناتج بالسالب (-)

مثال:

(-6) + ( -3 )=

-6 - 3 = -9

هنا أكيد استغربتوا يوم شفتو بين 6 و 3 سالب

وذلك لتطبيق عمليه الضرب بالأقواس وراح تفهموها أكثر بشرح اشارات الضرب بعد شوي

وأما شرح هذه المسألة فهو كما يلي :

(-6 ) {+ ( -3 ) }

= -6 تنزل عادي والشغل كله في القوس اللي بعده ، لازم تكون بينهم إشارة وحد مو ثنتين ونتيجة لتخالف الاشارات نطبق قاعدة الضرب ما بي القوسين الكبار في المثال

فـ (+) ضرب (-) = سالب

فتبقى إشارة -3 ( سالبه) وتتحول العملية من الجمع للطرح

-6 -3 >> ونظراً لتشابه الاشارات ننزل الاشارة الموجودة ونجمع

والناتج = -9

ثانيا : في الضرب :

* (+) X (+) = نضرب عادي والناتج +

مثال : 6 4x

= 24

* (+) X ( _ ) أو العكس ( _ ) X (+) = سالب ( - )

(ضرب) عددين مختلفين في الإشارة أولاً:

1) في الناتج نضع إشارة السالب (-) >> للمعلومية قاعده ثابته

2) نضرب عادي

مثال :

-5 3x

= - 15

* ( - )X ( - ) = +

( وضرب) عددين متشابهين في الإشارة السالبة تكون اشارة ناتجهما بالموجب ( + )

مثال

* (-4) x 36 = (9-) x

مثاله فـ حالة الضرب فقط . و ليس فـ حال الجمع و الطرح

(-2)*(-4)=+8

(-2)*(+4)=-8

(+2)*(+4)=+8

فـ حالة الضرب 1ذ1 اختلفت الاشارات يكون الجواب سال (-)

1ذ1 تشابهت الاشارات يكون الجواب موجب(+)

وفي حالة الجمع والطرح تكتب اشارة الأكبر وتطرح عادي

-7 + 10 = +3

+9 - 12 = -3

 

Comments

لماذا ناتج ضرب عدد سالب بعدد سالب آخر هو عدد موجب ؟

( - )X ( - ) = +

     هل خطر هذا السؤال على بالك من قبل؟ ربما في الإعدادية أو عند تعلم الأساسيات الرياضية وربما لم يخطر باعتباره مسلمة لا تحتاج السؤال! في المقال التالي ستجد إجابةً على هذا السؤال، لذا عندما يسألك طفل في المرحلة السابعة عن ذلك سيحصل على إجابة مقنعة وقد يحفزه ذلك للدراسة وطرح أسئلة أكثر مما يجعل الرياضيات تبدو بالنسبة له ممتعة كما هي عليه في واقع الحال.

الإجابة هنا لها علاقة بمعرفة العمليات الرياضية الأساسية من جمع وطرح وضرب وقسمة، بالإضافة إلى إدراك أنّ كل رقم له رقم معاكس يكون ناتج جمعهما صفر، على سبيل المثال؛ الرقم (3) معاكسه هو (3-) و مجموعهما يساوي الصفر أي (-3) + (3)=0.

لاحظ أنّه عند أخذ معاكس المعاكس أننا سنعود للرقم الأصلي،

 ففي مثالنا السابق إذا أخذنا معاكس الـ(3-) أي – (3-) سنعود للرقم الأصلي وهو (3)،

وبالعكس أيضًا معاكس (3)- هو (3-).

والآن إذا غيرت من إشارات عوامل أي عملية ضرب فإنك بذلك ستغير إشارة ناتج هذه العملية،

أي أنّ (- عدد ما) × (عدد آخر) هو معاكس }(العدد) × (العدد الآخر){، هذا صحيح لأنه عند جمعهم مع بعضهم -أي العمليتين السابقتين- ستحصل على صفر وذلك باستخدام خاصية توزيع الضرب على الجمع،

على سبيل المثال؛ (- 3) × (4-) + (3) × (-4)= (-3+3) × (-4)= (0) × (-4)=0 إذًا (- 3) × (-4) هو معاكس (3) × (4-) والذي هو بالتالي وباستخدام نفس الأسباب معاكس (3) × (4)

 وبذلك فإنّ ناتج (- 3) × (-4) هو معاكس معاكس 12 أي معاكس (-12) أي أننا نعود للعدد (12).

    وبهذا نجد أنّ حقيقة ناتج ضرب عددين سالبين هو عدد موجب مرتبط بحقيقة أنّ معاكس معاكس عدد موجب هو العدد الموجب نفسه،

   بالطبع هذه أحد طرق تفسير هذا السؤال البسيط والذي قد يفسر بطرق توضيح مختلفة أخرى، ومن المهم معرفة أنّ مستويات أعلى من هذا السؤال تدرس في الجامعات في صفوف غرضها تغطية خواص العمليات الرياضية بشكل عام.

لماذا ضرب رقم سالب في رقم سالب يعطي رقم موجب؟!

( - )X ( - ) = +

       اقترح العديد من الرياضيتين طرق لتصور ماذا يحدث عندما نضرب رقم سالب في رقم سالب آخر،

لتبسيط الفكرة ومعرفة لماذا يحدث هذا رياضيًا. بالطبع تصوير الأمر ليس سهلًا

لكننا سنحاول تبسيط الفكرة في هذا المقال.

الدين

أفضل طرق لتمثيل عملية السالب (الطرح) هو الدين. فلنفترض أنك مديون للبنك، وعليك دفع كل شهر 100 دولار لمدة ستة أشهر. فبعد الستة أشهر كم سيصبح ما معك من مال؟ بالطبع ستضرب عدد الأشهر فيما سيتم طرحه منك كل شهر (-100).

-100* 6 = -600

سالب 600، أي سينقص مالك ما قيمته 600 دولار.

لكن لنفترض أن (لم) تدفع لثلاثة أشهر بسبب هدية من البنك. أي ستصبح الأشهر سالبة (لم) تقم فيها بالعملية. فتصبح العملية

-100 * -3

لن نضع الناتج، فكر انت به، لم يتم خصم منك 100 دولار في 3 أشهر فهل سيكون هناك فائض؟ نعم بالطبع، لذا فالقيمة ستكون موجبة.

-100 * -3 = 300

الإثبات الرياضي لـــ ( - )X ( - ) = +

فلنحاول حساب ( -2 * -3) رياضيًا

  -2 * -3 = (-1)(2)(-1)(3)

            = (-1)(-1)(2)(3)

            = (-1)(-1) * 6

السؤال هنا، ما قيمة -1*-1؟ إما ان تكون -1 أو +1، ولو قلنا انها +1

وهي الإجابة الصحيحة فسيكون الناتج 6.

لكن ماذا لو افترضنا أنه (-1*-1) = -1، ماذا سيحدث؟

احسب هذه العملية (-1)(1 + -1) بافتراض أن ضرب عددين سالبين يعطي عدد سالب.

(-1)(1 + -1) = (-1)(1) + (-1)(-1)

        (-1)(0) = -1 + -1

              0 = -2

وبالطبع هذا امر خاطئ على الإطلاق فالصفر لا يساوي سالب 2.

أما إذا حسبتها بأن عدد سالب ضرب عدد سالب يعطي عدد موجب فسيكون الناتج

(-1)(1 + -1) = (-1)(1) + (-1)(-1)

        (-1)(0) = -1 + 1

              0 = 0

Answer 3

قاعدة الاشارات