تعريف المجموعة ؟ تدريبات محلولة على درس المجموعات الرياضية وتكوينها وامثلة على المجموعة
شرح وحل درس المجموعات
1) تعريف المجموعة:
هي تجمع من الأشياء أو العناصر المعرفة والمحددة تحديداً تاماً.
مثـال(1): أي من العبارات الآتية تمثل مجموعة مع ذكر السبب:
1- أيام الأسبوع. 2- أصابع اليد.
3- حواس الإنسان. 4- أرقام العدد 652534.
5- محافظات اليمن. 6- محافظات اليمن الجميلة.
7- الصفات الحميدة. 8- الطلبة طوال القامة في فصلك.
الـــحـــــل:
• العبارات (1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5) كل منها تمثل مجموعة لأن عناصرها معروفة ومحددة تحدياً تاماً.
• والعبارات ( 6 ، 7 ، 8 ) أي منها لا تمثل مجموعة لأن عناصرها ليست محددة تحديداً تاماً .
أولاً: طريقة السرد (القائمة):
تكتب جميع العناصر داخل حاصرتين } { ونضع علامة فاصلة بين كل عنصر والذي يليه.
مثال(2): اكتب بطريقة السرد كلاً من المجموعات الآتية:-
س = مجموعة أعداد العد الأقل من 6.
ص = مجموعة فصول السنة .
ع = مجموعة أرقام العدد 574725 .
الحل: 1) س = } 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 {
2) ص = } الصيف ، الشتاء ، الخريف ، الربيع {
3) ع = } 5 ، 2 ، 7 ، 4 {
تنبيـه هام: عند التعبير عن أي مجموعة بطريقة السرد يراعى أمران:
1) عدم تكرار كتابة أي عنصر من عناصر المجموعة .
2) لا أهمية لترتيب العناصر .
ثانياً: طريقة الصفة المميزة (الوصف):
مثـال(3): اكتب كلاً من المجموعات الآتية بطريقة الصفة المميزة :
1) س = } ق ، ل ، م {
2) ص = } مصر ، اليمن ، ليبيا ، ................... ، السعودية {
3) ع = } 13 ، 15 ، 17 ، 19 {
الحل: 1) س = } أ : أ أحد حروف كلمة قلم {
2) ص = } ب : ب أحد الدول العربية {
3) ع = } س : س عدد فردي ، 13 ≥ س ≥ 19 {
مثال(4): مستعيناً بالشكل المقابل اكتب كلاً من المجموعات التالية س، ص، ع
أولاً: بطريقة السرد.
ثانياً: بطريقة الصفة المميزة.
الـــحـــــل:
م طريقــــــــــة الــــــــــســــــــــــــــــــــرد طــــــــــريقــــــــــة الصفــــــــــة الــــــــــمــــــــــميــــــــــزة
1 س =}6 ، 8 ، 10 ، 12 { س =} أ : أ عدد زوجي ، 6 ≥ أ≥ 12 {
2 ص =} 1 ، 2 ، 3 ، 4 { ص =} ب: ب ∋ ط ، 0 > ب > 5 {
3 ع = } 5 ، 7 ، 9 ، 11 { ع =}س : س عدد فردي 5 ≥ س ≥ 11{
أنــــواع الــمجـــمــوعـات
1) المجموعة الخالية: هي المجموعة التي لا تحتوي على أية عناصر ويرمز لها بأحد الرمزين Ø أو } { .
مثال(5): أي المجموعات الآتية هي المجموعة الخالية:
أ) س = مجموعة الأعداد الزوجية المحصورة بين 2 ، 4 .
ب) ص = مجموعة الأسماك التي تعيش في الفضاء.
ج( ل = مجموعة الأعداد الفردية المحصورة بين 6 ، 8 .
د) ع = مجموعة طلاب فصلك الذي تبلغ أعمارهم 100 عام .
الحل: أ) س= Ø لأنه لا يوجد عدد زوجي محصور بين 2 ، 4 .
ب) ص =Ø لأنه لا توجد أسماك في الفضاء " أو ما رأيك ؟ "
ج) ل ≠ Ø لأن 7 عدد فردي موجود بين 6 ، 8 .
د) ع = Ø لأنه لا يوجد طالب عمره 100 عام .
ملاحظــة: } 0 { ليست خالية ، } Ø { ليست خالية.
2) المجموعة المنتهية: هي مجموعة يمكن تحديد عدد عناصرها.
مثــــلاً: س = } 2 ، 3 ، 4 ، 5 {
3)المجموعة غير المنتهية: هي مجموعة لا يمكن تحديد عدد عناصرها.
ص = } 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، ............{
لاحـظ أن: 1) س = مجموعة فصول السنة . (منتهية)
2) ص = مجموعة الأعداد الطبيعية الزوجية.(غير منتهية)
3) ع = مجموعة حروف اسـمك . (منتهية)
4) ل = مجموعة أعداد العد . (غير منتهية)
4)المجموعة الجزئية: يقال أن س جزئية من ص إذا كان جميع عناصر س موجودة في ص ويرمز لها بالرمز س ص.
ويلاحظ أن: 1) س س ( أي مجموعة جزئية من نفسها)
2) Ø س ( المجموعة الخالية جزئية من أي مجموعة )
3) يوضع الرمز بين مجموعتين بينما∋ بين عنصر ومجموعة.
5)المجموعة الشاملة (الكلية): هي المجموعة الأم التي تحوي جميع المجموعات الجزئية منها ويرمز لها بالرمز ش أو ك .
مــــــــــــلاحظـــــــــــــات هامــــــــــــــــــــــــــة:
1) عملية التقاطع بين مجموعتين: س ∩ ص
(س ∩ ص) تقاطع مجموعتين س ، ص هو جميع العناصر التي تنتمي إلى س وتنتمي إلى ص.
أي أن: س ∩ ص = } أ : أ ∋ س و أ ∋ ص{.
2) عملية الاتحاد بين مجموعتيـن: س ص
(س ص) اتحاد مجموعتين س، ص هو مجموعة العناصر التي تنتمي إلى س أو تنتمي إلى ص.
أي أن: س ص = } أ : أ ∋ س أو أ ∋ ص{
3) تســاوي مجموعتيــن:
تكون المجموعتان متساويتين إذا كانتا تتكونان من نفس العناصر بالضبط.
والعكس: كل مجموعتين تتكون من نفس العناصر تكونان متساويتين.
رمزيـــاً كالتــالــي: لأي مجموعتين س ، ص:
1) إذا كان س ص ، ص س فإن س = ص
والعـكـس: 2) إذا كان س = ص فإن س ص ، ص س
تعريف: المجموعتان المنفصلتان أو المتباعدتان هما اللتان تقاطعهما هو المجموعة الخالية أي لا توجد عناصر مشتركة بينهما.
لتكن س ، ص مجموعتان:
إذا كانت: س ، ص منفصلتان فإن س ص =
والعكس: إذا كان س ص = فإن س ، ص منفصلتان.
أي أن: س ص = {س : س ∌ س ، س ∌ ص}.
حل تمارين ومسائل الكتاب الـمدرسي صـ(8-10)
عـــلــــى الـمجموعــــات
اكتب كلاً من المجموعات الآتية بالصفة المميزة رمزياً:
س = }محرم ، صفر ، ربيع أول ، ......... ، ذي الحجة{
ص = }11 ، 13 ، 15 ، 17 ، 19{
ل = }10 ، 11 ، 12 ، 13 ، 14{
م = }ل ، ع ، ب{
الحل: س = } أ : أ أحد شهور السنة الهجرية {
ص = }س : س عدد فردي ، 10 > س > 20{
ل = } ب : ب ∋ ط ، 9 > ب > 15 {
م = } ه : ه حرف من حروف كلمة لعب {
[2] اكتب بذكر الصفة المميزة رمزياً كلاً من المجموعات التالية:
أ) مجموعة عواصم العالم.
ب) مجموعة مضاعفات العدد 9 .
ج) مجموعة الأعداد الفردية التي تقع بين العددين 16 ، 26 .
د) مجموعة المواد التي تدرسها في المدرسة .
الحل: أ) س = } ل : ل عاصمة من عواصم العالم {
ب) ص = } أ : أ أحد مضاعفات العدد 9 {
ج) ل = } س : س عدد فردي ، 16 > س > 26 {
د) ع = } م : م إحدى المواد التي تدرسها في المدرسة {
[3] اكتب كلاً من المجموعات التالية بطريقة السرد:
س = } س : س أحد حواس جسم الإنسان {
ص = } س : س ∋ ط ، س + 5 > 9 {
ع = } ص : ص عدداً فردياً ، 4 > ص > 10 {
ل = } م : م رقم من أرقام العدد 4787 {
الـحــــل:
س = } السمع ، البصر ، الشم ، اللمس ، التذوق {
ص = } 0 ، 1 ، 2 ، 3 { ، ع = } 5 ، 7 ، 9 { ، ل = } 7 ، 8 ، 4 {
[4] مستعيناً بالشكل ( 1 - 1).
اكتب المجموعات س ، ص ، ع
بطريقة السرد ، ثم بتحديد الصفة المميزة.
الـحــــل:
المجموعــة طريقة الســرد الصفة المميزة
س } 8 ، 10 ، 12 { }أ: أ عدد زوجي 7> أ > 13{
ص } 1 ، 2 ، 3 { } س : س ∋ ط 0> س > 4{
ع }5 ، 7 ، 9 ، 11{ } س : س عدداً فردياً، 4 > س>12{
] أكمل الجدول التالي بما يناسب الطريقة المطلوبة:
م طريقة الســرد طريقة الصفة المميزة رمزياً
أ }شمال، جنوب، شرق، غرب{
ب }أ : أ عدد صحيح، -2 > أ > 3{
ج } ق ، ل ، م {
د } ل: ل شــهر من أشــهر الســـنة الميلادية الذي يبدأ بحرف (ي) {
ه } 1 ، 4 ، 9 ، 25 {
الـحــــل:
م طريقة الســرد طريقة الصفة المميزة
أ } شمال جنوب،شرق، غرب{ } م : م إحدى الجهات الأصلية{
ب } -1 ، 0 ، 1 ، 2 { } أ : أ ∋ س ، -2 > أ > 3 {
ج } ق ، ل ، م { } ل : ل أحد حروف كلمة قلم{
د } يناير ، يونيو ، يوليو { } ل : ل شهر من أشهر السنة الميلادية الذي يبدأ بحرف" ي "{
ه } 1 ، 4 ، 9 ، 25 { }ب: ب مربع عدد طبيعي،0 > ب > 6}
[6] إذا كانت س = {4 ، 5 ، 6}، ض = {1 ، 2 ، 3}، أكتب أولاً بطريقة السرد، ثم بالصفة المميزة كلاً من:
أ) س∩ ض ب) س ض ج) س × ض
الـحــــل:
المطلوب طريقة الســرد طريقة الصفة المميزة
س ∩ ص
}ب: ب∌ س و ب ∌ ص{
س ص
} 4 ، 1 ، 2 ، 3 ، 5 ، 6 { } أ : أ ∋ س أو أ ∋ ص{
س ص }(4 ، 1)،(4 ،2)،(4 ،3)،(1،5) ، (2،5) ،(3،5)، (1،6)،(2،6)،(3،6){ }(أ ،ب): أ∋س، ب∋ص{
[7] ضع علامة () أمام العبارة الصحيحة، وعلامة () أمام العبارة الخاطئة فيما يلي:
[ط مجموعة الأعداد الطبيعية، ض مجموعة الأعداد الصحيحة].
أ) 3 ∋ { س : س ∋ ط ، س عدد زوجي }.
ب) { 3 ، -5} { أ : أ ∋ ض ، أ > 5 }.
ج) { س : س ∋ ض ، س ≥ 55 } ض
الـحــــل:
أ) () لأن 3 ∋ ط الفردية.
ب) ().
ج) ().
مـجموعة الفرق والمجموعة المتممة (المكملة)
1) عملية الفرق بين مجموعتين: س / ص
(س / ص) هو مجموعة العناصر التي تنتمي إلى س
ولا تنتمي إلى ص س / ص = } أ : أ ∋ س و أ ∌ ص {
2) عملية المتممة (المكملــــة): سَ
سَ هي مجموعة العناصر التي تنتمي إلى ش
ولا تنتمي إلى س سَ = } أ : أ ∋ ش و أ ∌ س{
3) قانــونــي دي مرجــان هما:
(س ص)َ = سَ ∩ صَ
قـانونــا دي مــورجـــان
(س ∩ ص)َ = سَ صَ
4) خــواص إضافيــة للمكمــلات:
1) (سَ) َ = س أي مكملة المكملة لمجموعة = المجموعة نفسـها.
2) س سَ = ش ، س ∩ سَ = Ø
3) لأي مجموعتين س ، ص يكون:
*(س ص)َ = سَ ∩ صَ (مكملة اتحاد مجموعتين) = تقاطع مكملتيهما
*(س ∩ ص)َ = سَ صَ (مكملة تقاطع مجموعتين) = اتحاد مكملتيهما ويسميان بقانوني دي مورجان .
4) Øَ = ش شَ = Ø
5) خـــواص العمليــات على المجموعــة:
1) س ∩ ص = ص ∩ س
(خاصية الإبدال)
2) س ص = ص س
3) ( س ∩ ص) ∩ع = س ∩ (ص ∩ ع)
خاصية الدمج (التجميع)
4) (س ص) ع= س (ص ع )
5) س∩(صع)=(س∩ص) (س∩ ع)
خاصية التوزيع
6) س (ص∩ع)=(سص) ∩ (سع)
مثال(6): إذا كانت ش = } أ : أ ∋ ط ، أ > 10{
س = } 2 ، 4 ، 6 ، 8 { ، ص = } أ : أ أحد أرقام العدد 85765 {
1) اكتب ش ، ص بطريقة السرد ثم أوجد:
2) س ∩ ص 3) س ص
4) سَ 5) س/ ص
الـحــل:
1) ش = } 0 ، 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، 7 ، 8 ، ، 9 {
س = } 2 ، 4 ، 6 ، 8 { ، ص= } 5 ، 6 ، 7 ، 8 {
2) س ∩ص = } 6 ، 8 { 3) س ⋃ ص = } 2، 4، 5، 6، 7، 8{
4) سَ = } 0 ، 1 ، 3 ، 5 ، 7 ، 9 {.
5) س/ ص = } 2 ، 4{.
مثال(7): إذا كانت س ، ص مجموعتين فأكمل كلاً مما يأتي:
1) س ⋃ سَ = ............ 2) س ∩ سَ = .............
3) سَ ⋃ ش = ............ 4) سَ ∩ ش = .............
5) سَ ⋃ Ø = ............. 6) سَ ∩ Ø = .............
7) شَ = ............... 8) Øَ = ...................
الـحــل: 1) ش 2) Ø 3) ش 4) سَ
5) سَ 6) Ø 7) Ø 8) ش
مثال(8):إذا كانت س = } 1 ، 2 ، 3 { ، ص = } 3 ، 4 ، 7 {
أوجــد: 1) س / ص 2) (س ∩ ص) ⋃ ص
3) (س ⋃ ص) ∩ س
الحل: 1) س / ص = } 1 ، 2 {
2) ( س ∩ ص ) ⋃ ص = } 3{ ⋃ }3 ، 4 ، 7{ = }3 ، 4 ، 7{
3- ( س ⋃ ص) ∩ س = } 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 7 { ∩ } 1 ، 2 ، 3{
= } 1 ، 2 ، 3{
