Question

مجموعات الأعداد تنقسم إلى 4 أقسام هي؟ أمثلة على مجموعات الاعداد الأربع. شرح درس مجموعة الأعداد رياضيات 

مرحباً بكم متابعينا الأعزاء طلاب وطالبات العلم  في موقعنا النورس العربي منبع المعلومات والحلول الذي يقدم لكم أفضل الأسئله بإجابتها الصحيحه من شتى المجالات التعلمية من مقرر المناهج التعليمية  والثقافية ويسعدنا أن نقدم لكم حل السؤال الذي يقول........ مجموعات الأعداد تنقسم إلى 4 أقسام هي؟ أمثلة على مجموعات الاعداد الأربع. شرح درس مجموعة الأعداد رياضيات 

1) مجموعة أعداد العد = { 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، ...... } 

   وتمثل خط الأعداد كما يلي :

2) مجموعة الأعداد الطبيعية ط = { 0 ، 1 ، 2 ، 3 ، 4 ،5،...}

   وتمثل على خط الأعداد كما يلي:  

3) مجموعة الأعداد الصحيحة 

ص = {...، 3 ، 2 ، 1 ، 0 ، -1 ، -2 ، -3 ،…}

وتمثل على خط الأعداد كما يلي:

 4) مجموعة الأعداد النسبية 

ن = { : أ ، ب ∋ ص ، ب ≠0}

وتمثيلها على خط الأعداد مثلاً  

ملاحظة: بين كل نقطة وأخرى تمثلان عددين نسبيين.

توجد كثير من النقاط التي تمثل أعداد نسبية أخرى بينها.

لاحظ أن:مجموعة أعداد العد ط ص ن

تذكر أن:

• تذكر أن 4 = 2 ، =  

• سؤال ما هو 2 إذا بحثنا عن عدد بصورة بحيث ( )2=2

فلا نستطيع بالضبط إيجاد مثل هذا العدد ولكن نستطيع إيجاد أعداد مربعه مقاربة للعدد 2.

مـــثــــلاً: (1.4)2 ＞2 ، (1.41)2 ＞ 2 ، (1.414)2 ＞ 2

 (1.415)2 ＜ ، (1.42) ＜2 ، (1.5)2 ＜2

أي أن:

            2 1.4

            2 1.41

            2 1.414

       [ 2 → 1.4142135] ولهذا لا يمكن كتابة العدد 2 على صورة نسبة بين عددين صحيحين وذلك لأن التمثيل العشري له ليس منتهياً ولا دورياً لذا نقول أن 2 عدد غير نسبي.

وكذلك 3 ، 5 ، 7 ، 11 ، وكذلك النسبة التقريبية .

الأعداد غير النسبية:

• تعريف العدد غير النسبي نَ هو العدد الذي لا يمكن كتابته بالصورة { : أ ، ب ∋ ص ، ب 0 }

أو :الأعداد الغير نسبية هي ممثلة بالجذور الصماء ويرمز لها بالرمز ن/   

• يمكن كتابة العدد النسبي بصورة كسر عشري منته مثلا

3.3 ، 14.18 ، 1.025   

• يمكن كتابة العدد النسبي بصورة كسر عشري دوري 

مثلاً ، ،   

• ميز أي من الأعداد الآتية نسبي وأيها غير نسبي ؟

1) 3.34 2) 3) 0.232332333 4) 3

الـحــل:

1) 3.34 عدد عشري منته فهو عدد نسبي

2) عدد عشري دوري فهو عدد نسبي 

3) 0.232332333 عدد عشري غير منته وغير دوري فهو غير نسبي 

4) 3 جذر أصم فهو عدد غير نسبي  

 

تمثيــل العــدد النسبــي

مثال(1): مثل 5 على خط الأعداد

الـحــل:

1) نجد عددين مثلاً 1، 2 = بحيث يكون (1)2 + (2)2 = ( 5 )2

2) نأخذ البعد 1سم على محو السينات.

3) نأخذ البعد 2سم على محو الضادات.

4) نصل أب فيكون طوله 5.  

4) نفتح الفرجار فتحة تساوي | أ ب |

ثم نركز بسن الفرجار من "و"ونرسم قوساً يقطع محور السينات في النقطة ج‍ فتكون النقطة ج‍ تمثل 5 .

مثال(2): مثل 11 على خط الأعداد

الحل: 1) نجد عددين 5، 6 بحيث يكون (6)2 - (5)2= ( 11)2

2) نرسم على محو السينات 5سم (العدد الأصغر) فيقطع المحور عند أ

3) نفتح الفرجار فتحة 6سم ونركز من نقطة أ ونرسم قوساً يقطع محور الصادات في ب.

1) نفتح الفرجار فتحة تساوي طول |و ب|ونركز في و ونرسم قوساً يقطع محور السينات في (ج‍( فيكون ج‍ تمثل 11

مثل(3): ميز أي الأعداد الآتية نسبي وأيها غير نسبي؟

أ) 3.020220222 ب)  

ج‍( (14.151151115) د) 32

الحل: أ) عدد غير نسبي لأنه عدد عشري غير منته وغير دوري 

ب)عدد نسبي لأنه عدد عشري دوري.

ج) عدد نسبي لأنه عدد عشري منته.

د) عدد غير نسبي لأنه لا يمكن وضعه على الصورة   

الأعـــداد الحقيقيـــة

مجموعة الأعداد الحقيقية ح : 

هي مجموعة ناتجة من اتحاد مجموعة الأعداد النسبية ن ومجموعة الأعداد غير النسبية ن/ 

ط ص ن ح

ح = ن ن/ 

ملحوظة: كل نقطة على خط الأعداد تمثل عدد حقيقي وكل عدد حقيقي يمثل نقطة.

• تمثيل مجموعات جزئية من ح على خط الأعداد 

الـــــــــــــــفــــــــــتــــــــــــــــــــــرات

أولاً:الفتـرات المحدودة

إذا كان أ ، ب عددين حقيقيين ، أ < ب فإن:

[1] الفتـرة المغلقـة:

[أ ، ب] = { س : س ∋ ح ، أ ≤ س ≤ ب}

[2] الفتـرة المفتوحة:

]أ ، ب[ = {س : س ∋ ح ، أ < س < ب }

[3] الفترة المفتوحة من اليمين أو (النصف مغلقة):

] أ ، ب] = {س : س ∋ ح ، أ < س ≤ ب }

[4] الفترة المفتوحة من اليسار أو (النصف مغلقة):

[ أ ، ب [ = {س : س ∋ ح ، أ ≤ س < ب}

ثانياً: الفتـرات غيـر الـمحــدودة

إذا كانت أ عدداً حقيقياً فإن:

[1] [ أ ، ∞[ = { س : س ∋ ح ، س ≤ أ }

[2] ] أ ، ∞[ = { س : س ∋ ح ، س > أ }

[3] ]-∞، أ ] = { س : س ∋ ح ، س ≤ أ}

[4] ]-∞، أ [ = { س : س ∋ ح ، س < أ}

ملحوظة هامة:

(1) ح = ] -∞ ، ∞ [ (2) ح+ = ] 0 ، ∞[ 

(3) ح- = ] -∞ ، 0[

مثال(3): مثل مجموعات الأعداد التالية على خط الأعداد ثم أكتب كل منها كفترة عديدة:

أ) { س : س ∋ ح ، -3 س 2 } ب) { س : س∋ح، 0< س 4}

ج) { س : س ∋ ح ، س ≤ -3 } د){ س : س ∋ ح ، س < 0 }

الـحــل:

أ) أ = [-3، 2]

ب) ب = ] 0، 4]

ج‍( ج‍ = ]-3، ∞ [

د) د = ] -∞، 0[

مثال(4): مثل كلاً من الفترات الآتية على خط الأعداد، ثم اكتب كلاً منها بالصفة المميزة.

أ) [-2، 2[ ب) ]-3 ، 1[

ج‍( ]- ∞،0[ د) ]2، ∞ [

الـحــل:

أ) أ = {س: س ∋ ح ، -2≤ س < 2} 

ب) ب = {س: س ∋ ح ، -3< س < 1}

ج‍( ج‍= {س: س∋ ح ، س ≤ 0}

د) د= {س: س∋ح، س > 2}

حل تمارين ومسائل الكتاب المدرسي صـ(47-48)

على الأعداد النسبية والفتـرات 

[1] ميّز الأعداد النسبية والأعداد غير النسبية فيما يلي:

أ) 3.020220222 ، ب) 5.5

ج) 14.151151115 ، د) 32

الحــــــــل:

أ) غير نسبي. 

ب) نسبي لأنه كسر عشري دوري.

ج) نسبي.

د) غير نسبي لأنه غير دوري وغير منتهي.

[2] عيّن النقاط التي تمثل الأعداد التالية على خط الأعداد:

أ) -2 ،- ، ، - 3

ب) - 4 ، ، - 5

جـ) ، ، -  

د) 7 ، 5 ، 3

الحــــــــل:

أ) 

ب)

جـ)

د)

[3] مثّل مجموعات الأعداد التالية على خط الأعداد ، ثم اكتب كلاً منها كفترة عددية:

أ) {س : س ∋ ح ، 2 ≤ س ≤ 6} ب){س : س ∋ ح ، 0 < س < 5}

ج){س : س ∋ح، - 3 < س < 1} د){ س : س ∋ ح ، س ≤ - 3}

هـ) {س : س ∋ ح ، س > 2} 

الحــــــــل:

أ) [2 ، 6]

ب) ]0 ، 5[ 

جـ) ]-3 ، 1[ 

د) ]-∞، -3] 

هـ) ]2 ، ∞ [ 

[4] مـثـّـل كلاً من الفترات الآتية على خط الأعداد، ثم اكتب كلاً منها بالصفة المميزة:

أ) [- 4 ، 2] ، ب) ] 0 ، 3[ ، ج) [- 1 ، 1[

د) [- 4 ، 3[ ، هـ) ]- ، -2] ، و) ]2 ، [

الحــــــــل:

أ ) [-4 ، 2] = {س : س ∋ ح ، -4 ≤ س ≤ 2}

ب) ]0 ، 3] = {س : س ∋ ح، 0 < س ≤ 3} 

جـ) [-1 ، 1[ = {س : س ∋ ح، -1 ≤ س < 1} 

د ) [-4 ، 3[ = {س : س ∋ ح، -4 < س < 3} 

هـ) ] - ، -2] = {س : س ∋ ح، س ≤ -2} 

و ) ] 2 ، [ = [س : س∋ ح ، س > 2]

التطبـيـــق الخــطـي

تعـريفــه: هو تطبيق من ح ح 

وقاعدته: هي ت (س) = أ س + ب حيث أ ، ب ∋ ح

• ويمثل بيانياً بخط مستقيم وحيد.

حل تمارين ومسائل الكتاب المدرسي صـ(51 - 53)

على التطبيق الخطي

[1] أي التطبيقات التالية يعتبر تطبيقاً خطياً ؟ ولماذا ؟ 

أ) ت ( أ ) = 4 أ2 ب) ه‍ ( س ) = 2س + 3 

ج‍( ك ( س ) = 5 س3 -2س2 + 5 د) ت ( أ ) = 5أ -2

ه‍( ل ( م ) = 4 و) ت ( س ) = 1 - س.

الحـــل:

أ) ت ( أ ) لا يمثل تطبيق خطي لأن قاعدته ليست على الصورة

ت ( س ) = أس + ب 

ب) هـ (س) يمثل تطبيق خطي .

جـ) ك (س) لا يمثل تطبيق خطي لأن قاعدته ليست على الصورة 

ك (س) = أس + ب 

د) ت ( أ ) يمثل تطبيق خطي .

هـ) ل ( م ) تطبيق خطي . 

و) ت ( س ) يمثل تطبيق خطي .

[2] لتكن ت ( أ ) = 2أ -1 فأوجد: 

أ) ت ( ) ، ت ( 2 ) ، ت ( 0 ) ، ت ( -1 )، ت (-2).

ب) أكتب التطبيق كأزواج مرتبة،

ج‍( هل هذا تطبيق خطي؟

الحـــل:

أ) ت ( أ ) = 2أ -1

ت ( ) = 2 × -1 = 1 -1 = صفر .

ت ( 2) = 2 × 2 - 1 = 2 2 - 1 

ت ( 0 ) = 2 × 0 - 1 = -1 

ت ( -1 ) = 2 × -1 - 1 = -3 

ب) ت = { ( 2 ، 2 2 - 1 ) ، (0 ، -1) ، (-1 ، -3).........}

ج‍( تمثل الأزواج المرتبة للتطبيق في المستوى ثم نصلها فنحصل على خط مستقيم واحد فقط يمر بتلك النقاط فيكون التطبيق هو تطبيق خطي.

[3] إذا كانت ت (س) = 3س+1، وكان مجاله هو {1، 4، 7} فأوجد مداه.

الحـــل:

ت ( س ) = 3س + 1 

ت ( 1 ) = 3 × 1 + 1 = 4

ت ( 4 ) = 3 × 4 + 1 = 13

ت ( 7 ) = 3 × 7 + 1 = 22

مــــداه = { 4 ، 13 ، 22 } 

[4] إذا كانت ت : ح ح وقاعدته هي ت ( أ ) = 1 - 2أ .

فأوجد صورة العناصر - ، 1 ، 2 . ثم مثل هذا التطبيق بيانياً.

الحـــل: ت ( أ ) = 1 - 2 أ 

ت (- ) = 1 - 2 × - = 1 + 1=2  

ت ( 1 ) = 1 - 2 × 1 = 1 - 2 = - 1 

ت ( 2) =1-2× =1- 5 = -4 

[5] لتكـن ت: ح ح وقاعدته هي: ت ( س ) = س + 3 أوجد:

ت ( )، ت (- )، ت (-1) ، ت ( )، ثم مثّل هذا التطبيق بيانياً.

الحـــل:

ت (س) = × س + 3

ت ( ) = × + 3 = + 3 = = ∋ح

ت(- )= × +3= + 3= = ∋ح

ت(-1)= × -1+ 3 =- + 3= = ∋ح

ت( ) = × + 3 = + 3 = = ∋ح

[6] ارسم المخطط البياني للتطبيق: ت ( أ ) = 2أ + 3 ثم بين أي النقاط التالية تنتمي إلى التطبيق:(1،3)، (0 ، 3) ، (- ، 2) ،(-1، 1)، (2،3).

الحل: ت (أ) = 2أ + 3

ت ( 0 ) = 2×0+ 3 =3 ( 0 ،3 ) ∋ للتطبيق 

ت ( 1 ) = 2 × 1 + 3 = 5 3 ( 1 ، 3 ) ∌ للتطبيق

ت (- ) = 2 × - + 3 = 2 ( - ، 2 ) ∋ للتطبيق

ت ( - 1 ) = 2 × -1 + 3 = 1 ( -1 ، 1 ) ∋ للتطبيق

ت ( 2 ) = 2 × 2 +3 = 7 3 ( 2 ، 3 ) ∌ للتطبيق

  نختار النقاط ( 0 ، 3 ) ، ( - ، 2 ) ، ( -1 ، 1 ) لرسم التطبيق 

[7] الشكل (1-46) يمثل التطبيق الخطي ت (أ)=2 أي النقاط التالية تنتمي إلى التمثيل البياني للتطبيق الخطي أعلاه؟

(0، 5)، (5، 0)، (-2، 2)، (0، 2)، (100، 2)، (500، 0).

الحـــل: ت (أ) = 2

  التطبيق الخطي تطبيق ثابت.

  النقاط التي تنتمي للتطبيق هي النقاط 

   التي يكون مسقطها الثاني العنصر (2)

وبالتالي النقاط هي: (-2، 2) ، ( 0، 2) ، ( 100 ، 2 )

[8] الشكل (1-47) يثمل تطبيقاً خطياُ:

أ) أوجد إحداثي نقطتي التقاطع مع محور السينات، ومحور الصادات.

ب) أي القاعدتين التاليتين تعتبر قاعدة للتطبيق الخطي المرسوم جانباً:

ت (أ) = 2أ - 1، ت (أ) = أ+1-1

الحـــل:

أ) نقطتي التقاطع مع محور السينات، ومحور الصادات (-1، 0) ،(0، 1)

ب) القاعدة ت (أ) = أ+1 تعتبر قاعدة للتطبيق الخطي لأن النقطتين تحققان قاعدة التطبيق.

فمثلاً: ت (-1) = -1 + 1 = 0 (-1 ، 0) 

 ت (0) = 0 + 1 = 1 (0 ، 1)

تابع حل مسائل عامة على مربع الاجابة اسفل الصفحة 

Answer 1

حـل تمارين عامة 

مسائل الكتاب المدرسي صـ 53-57

 [1] ضع علامة () أمام العبارة الصحيحة و() أمام العبارة الخاطئة فيما يلي:

أ) -9 ∋ {س: س ∋ ص، س > -10} ( )

ب) {5، 6} {أ :أ ∋ط، -6 <أ < 4} ( )

ج‍( {2، 4، 8} ={ص: ص عدد يقسم العدد 8} ( )

الحـــل:

أ) (). ب) (). جـ) ().

[2] أكتب كلاً من المجموعات الآتية بالصفة المميزة (رمزياً):

س = {4، 6، 8، 10} ، ص= {ك، ت، أ ، ب}

ع هي مجموعة الأعداد التي تقبل القسمة على 3.

الحـــل:

س = {س: س عدد طبيعي زوجي، 3 < س< 11}

ص = {ص:ص أحد حروف كلمة كتاب}

ع = {ع: ع عدد يقبل القسمة على 3}

[3] إذا كانت: س = {1، 3، 4}، ص= {2، 6، 8}، ع علاقة من س إلى ص حيث ع = {(1، 2)، (3، 6)، (4، 8)}، أكتب هذه العلاقة بطريقة الصفة المميزة رمزياً.

الحـــل:

ع= {(أ ، ب): أ ∋ س، ب ∋ص: ب = 2أ}

[4] من الشكل (1-48)، أكتب:

أ) المجموعتين س، ص بطريقة السرد.

ب) المجموعة س بطريقة الصفة المميزة.

الحـــل:

(أ) س= {4، 5، 6} ص= {أ، ب ، 6}

(ب) {أ: أ أحد أرقام العدد 654}.

[5] أكتب المجموعات التالية أولاً: بطريقة السرد، ثم بالصفة المميزة رمزياً: أ) مجموعة حرف كلمة "شبوة"

ب) مجموعة الأعداد الفردية الأكبر من 10، والأصغر من 16.

ج‍( مجموعة أرقام العدد 32235.

الحـــل:

طريقــة الســرد طريقــة الصفة المميزة

(أ) {ش، ب، و، ة} {أ:أ أحد حروف كلمة شبوة}

(ب) {11، 13، 15} {ب: ب عدد طبيعي فردي، 10< س<16}

(ج‍( {2، 3، 5} {ج‍: ج‍ أحد أرقام العدد 32235}

[6] إذا كانت س= {9، 7، 6}، ص = {1، 6، 7، 9}، أوجد:

أ) س/ ص، ص/س، ب) مثّل س/ص بأشكال فن.

الحـــل:

(أ) س/ص= Ø

ص/س= {1}

(ب) تمثيل س /ص بشكل فن كما هو موضح بالشكل. 

[7] إذا كانت: ش ={5 ، 7 ، 9 ، 10 ، 12}، س={5، 7، 12}، ص={7 ، 9 ،10} أوجد كلاً مما يأتي:

أ) سَ ب) سَ ⋂ ص. جـ) (س/ ص)

الحـــل:

(أ) سَ = {9، 10}

ب) سَ ⋂ ص= {9، 10} ⋂ {7، 9، 10}= {9 ،10}.

ج‍( )س/ ص) = {5، 12}

[8] إذا كانت:ش= {6، 7، 8، 9، 10، 11}، س = {7، 8، 10}، ص= {6، 7، 11}، 

أوجد: أ) سَ ب) ش/ص ج‍( سَ / صَ.

الحـــل:

(أ) سَ = {6، 9، 11}

(ب) ش/ص= صَ= {8، 9، 10}

(ج‍( سَ / صَ = {6 ، 9 ، 11} / {8 ، 9 ، 10} = {6 ، 11}

[9] من الشكل (1-49) أوجد كلاً مما يأتي:

أ) س /ص ب) سَ 

جـ) (س ⋂ ص)َ د) (س⋃ ص)َ

الحـــل:

أ) س/ص= {5، 7}

ب) سَ = {3 ، 4}

جـ) (س ⋂ ص) = {8} (س ⋂ ص)َ = {3 ، 4 ، 5 ، 7}

د) (س ⋃ ص) = {4، 5، 7، 8} (س ⋃ ص)َ = { 3 }

[10] أكتب المجموعات الممثلة بالمناطق المظللة في كل من الأشكال (1-50أ، ب، ج‍،) التالية:

الحـــل:

شكل (1-50أ) يمثل ل/م

شكل(1-50ب) يمثل (س⋂ ص)َ

شكل (1-50ج‍( يمثل لَ

[11] إذا كانت: س {أ، ب، ج‍، د}، ص= {3، 5، 7} فأوجد س× ص، ثم مثله بيانياً.

الحـــل:

س × ص = {(أ، 3)، (أ،5)، (أ،7)، (ب، 3)، (ب، 5) ،

  (ب، 7)، (ج‍،3)، (ج‍،5) (ج‍، 7)، (د، 3)، 

  (د، 5)، (د، 7)}

[12] بين أن العلاقة الموضحة بالمخطط السهمي في الشكل (1-51) والمعرفة على المجموعة: س= {1، 3، 5}،

ليست انعكاسية ولا متناظرة ولكنها متعدية.

الحـــل:

ع = {(1 ، 3) ، (1 ، 5) ، (3 ، 3) ، (3 ، 5) ، (5 ، 3) ، (5 ، 5)}

العلاقة ليست انعكاسية لأن العنصر (1) لم يرتبط بنفسه

العلاقة ليست متناظرة لأن (1، 3) ∋ ع بينما (3، 1) ∌ ع

العلاقة متعدية لأن شرط التعدي لجميع الحالات متحقق.

فمثـــلاً: (1 ، 3) ، (3 ، 5) ∋ ع (1 ، 5) ∋ ع

[13] إذا كانت: ك {-1، 0، 1}، ع علاقة على المجموعة ك، حيث

ع = {(أ، ب): أ ≥ ب، أ ، ب ∋ ك}، هل ع علاقة متعدية؟ ولماذا؟

هل ع علاقة تكافؤ، ولماذا؟

الحـــل:

ع= {(-1، -1)، (-1، 0)، (-1، 1)، (0،0)،(0، 1)، (1،1)}

ع متعدية لأن شرط التعدي متحقق لجميع الحالات

فمثلاً: (-1 ، 0) ، (0 ، 0) ∋ع (-1 ، 0) ∋ ع

ع ليست علاقة تكافؤ لأن ع ليست متناظرة بسبب وجود مثلاً (-1، 1) وعدم وجود (1، -1)

[14] الشكل (1-52 أ، ب ، ج‍ ، د) يمثل علاقات موضحة بمخططات سهمية، حدد أياً منها يمثل تطبيقاً، واذكر السبب. عين مدى كل تطبيق.

الحـــل:

* شكل (1-52 أ) لا يمثل تطبيق:

لأن العنصر ب لم يرتبط بأي عنصر من ص.

* شكل (1-52 ب) يمثل تطبيق من ص س (لاحظ اتجاه الأسهم)

لأن كل عنصر من ص له صورة وحيدة في س.

المدى = {-1، 0، 1}

* شكل (1-52 جـ) لا يمثل تطبيق

لأن العنصر 5 أرتبط بأكثر من عنصر من ص.

* شكل (1-52 د) يمثل تطبيق:

لأن كل عنصر من س ارتبط بعنصر واحد فقط من ص. 

المدى = {4 ، 9 ، 15}

[15] لدينا التطبيق ت: س ص (حيث ص مجموعة الأعداد الصحيحة) وقاعدته هي ت (أ) = أ - 5، فإذا كانت س = {0، 1، 2، 3}، أكتب صورة كل عنصر ثم حدد المدى، أرسم المخطط السهمي والبياني لهذا التطبيق. 

الحـــل:

ت (أ) = أ -5

ت (0) = 0- 5= -5 

ت (1) = 1-5= -4

ت (2) = 2-5=-3

ت (3) = 3-5= -2

المدى = {-5، -4، -3، -2}

[16] المخطط السهمي في الشكل (1-53) 

      يمثل تطبيقاً من س ص.

      أوجد مدى وقاعدة التطبيق.

الحـــل:

مدى التطبيق = {11، 14، 17}

قاعدة التطبيق ت (أ) = 3أ +2

[17] لتكن س = {3}، هل س× س علاقة تكافؤ؟ ولماذا.

الحـــل:

س × س = {(3، 3)}

العلاقة انعكاسية لأن كل عنصر مرتبط بنفسه

العلاقة متناظرة.

العلاقة متعدية لأنه لا يوجد ما ينقض الشرط

  العلاقة علاقة تكافؤ.

[18] لتكن ت: س ص (ص مجموعة الأعداد الصحيحة)، معطى بالقاعدة: ت (أ)= أ - 3، حيث س = {3، 4، -5}،

أ) أوجد مدى التطبيق

ب) أرسم المخطط السهمي والبياني للتطبيق.

الحـــل:

ت (أ) = أ - 3

ت (3) = 0

ت (4) = 1

ت (-5) = - 8

المدى = {0 ، 1 ، -8}

[19] إذا كان: ت: ح ح، أرسم التطبيق ت (أ) = أ +1

الحـــل:

نوجد نقطتين أو ثلاث نقط ثم نصل بينهما فيكون خط مستقيم:

ت (أ) = أ +1

ت (0) = × 0+ 1+ 1 =1

ت (2) = × 2+ 1= 1+1=2

ت (4) = ×4+ 1= 2+ 1=3

[20] عين النقاط التي تمثل الأعداد التالية على خط الأعداد.

 3، - ، ، - 2

الحـــل: 

[21] ميز الأعداد النسبية والأعداد غير النسبية فيما يلي:

أ) , 2 ب) 8 ، ج‍( 4.212

الحـــل:

(أ) , 2 عدد نسبي لأنه دوري.

(ب) 8 عدد غير نسبي لأنه غير منتهي.

(ج‍( 4.212 عدد نسبي لأنه كسر عشري منتهي.

[22] مثل مجموعات الأعداد التالية على خط الأعداد، ثم أكتب كلاً منها كفترة عددية:

أ) {س: س∋ ح، 5< س≥ 10}، ب) {أ: أ ∋ح، -1 ≥ أ < 1}

ج‍( {ب: ب ∋ح، -4 < ب < 2} د) {س: س∋ ح، س > 4}.

الحـــل:

(أ) ] 5، 10]

(ب) [-1، 1[

(ج‍( ]-4، 2[

 (د) ]4، ∞[

[23] مثل كلاً من الفترات الآتية على خط الأعداد، أكتب كلاً منها بالصفة المميزة:

أ) [-5، 3] ب) ] 0، 4] ج‍( ]-2، 1[ 

د) ]-3، 1 [ ه‍( [3، ∞[ و) ]-∞، 1]

الحـــل:

أ) {س: س ∋ ح ، - 5 ≤ س ≤ 3}

ب) {س: س ∋ ح ، 0 < س ≤ 4}

ج‍( {س: س ∋ ح ، - 2 ≤ س < 1}

د) {س: س ∋ ح ، - 3 < س < 1}

ه‍( {س: س ∋ ح ، س > 3}

و) {س: س ∋ ح ، س ≤ 1}

حل اختبار الوحدة صـ(58)

[1] إذا كانت: س = {أ : أ ∋ ص ، - 5 < أ < 1} ، ك = {- 4، 0 ، 1} أوجـد س/ك ، ومثّلها بأشكال فن.

الـحــل:

س = {-4 ، -3 ، -2 ، -1 ، 0}

ك = {-4 ، 0 ، 1}

  س/ ك = {- 3 ، -2 ، -1}

[2] من الشكل (1 - 54) أوجــــد:

أ) سَ ، صَ

ب) (س ∩ ص)َ

جـ) سَ ∩ صَ

د) تحقق من صحة أن: (س ص)َ = سَ ∩ صَ

الـحــل:

أ) سَ = {3 ، 6 ، 7} ، صَ = {4 ، 6}

ب) نوجد أولاً: س ∩ ص = {5}

 (س∩ ص)َ = {3 ، 4 ، 6 ، 7} = سَ صَ

جـ) سَ ∩ صَ = {6}

د) س ص = {3 ، 4 ، 5 ، 7}

  (س ص)َ = {6} (س ص)َ = سَ ∩ صَ = {6}

[3] إذا كانت: س = {2 ، 3 ، 7} بيّن نوع العلاقات التالية على س من حيث كونها علاقة (انعكاسية، متناظرة، متعدية، تكافؤ):

ع1 = {(2 ، 2) ، (3 ، 3) ، (7 ، 7)}

ع2 = {(2 ، 3) ، (3 ، 2) ، (2 ، 2)}

ع3 = {(7 ، 7) ، (3 ، 7) ، (7 ، 3) ، (3 ، 3) }

الـحــل:

ع1 علاقة انعكاسية - متناظرة - متعدية. ع1 علاقة تكافؤ.

ع2 ليست انعكاسية - متناظرة - متعدية. ع2 ليست علاقة تكافؤ.

ع3 ليست انعكاسية - متناظرة - متعدية. ع3 ليست علاقة تكافؤ.

[4] في الشكل (1 - 55 أ ، ب ، جـ) أي العلاقات تمثّل تطبيقاً وأيها لا تمثل تطبيقاً، اكتب المجال والمجال المقابل ومدى التطبيق.

الـحــل:

أ) لا يمثل تطبيق: لأن جـ لم يرتبط بأي عنصر من ص

ب) تطبيق: لأن كل عنصر من س يرتبط بعنصر واحد فقط من ص.

المجال = {1 ، 3 ، 7} ، المجال المقابل = {2 ، 5 ، 6 ، 9} ، 

المــدى = {2 ، 5 ، 6}

جـ) لا يمثل تطبيق: لأن العنصر 3 يرتبط بأكثر من عنصر ص.

[5] ليكن التطبيق ت: س ص حيث س = {1 ، 2 ، 3}، 

ص = {4 ، 5 ، 6 ، 7}، وقاعدته هي ت (أ) = أ + 3 ، أ ∋ س أوجد مدى التطبيق، ثم ارسم مخططه السهمي.

الـحــل:

  ت (أ) = أ + 3

  ت (1) = 4

ت (2) = 5

ت (3) = 6

المدى = {4 ، 5 ، 6}

[6] ارسم التطبيق الخطي التالي: ت (أ) = 3أ + 5 ، ت: ح ح

الـحــل:

  ت (أ) = 3أ + 5

ت (0) = 5

ت (-1) = 3 × -1 + 5 = 2

ت (-2) = 3 × -2 + 5 = -1

س 0 -1 -2

ص 5 2 -1